Problema 678

Dada la función f(x)=x^3-2x^2+x, se pide:

a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c) Máximos y mínimos locales.
d) Representación gráfica.
e) A partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores, razona en qué puntos la función g(x)=(x-2)^3-2(x-2)^2+x-2 tiene un máximo y un mínimo local.


Solución:

a) f es una función elemental polinómica. Su dominio es \mathbb R donde es continua y derivable.

  • Puntos de corte con el eje x (y=0):
    0=x^3-2x^2+x~;\\0=x(x^2-2x+1)~;\\0=x(x-1)^2
    Ecuación cuyas solunciones son x=0, x=1. Luego, los puntos de corte son (0,0) y (1,0).
  • Puntos de corte con el eje y (x=0):
    y=0^3-2\cdot0^2+0=0
    El punto de corte con el eje y es (0,0).

b) Nos piden estudiar la monotonía de f. Comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(x)=3x^2-4x+1=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=1, x=1/3.
Teniendo en cuenta el dominio y con los dos puntos críticos obtenidos construimos la siguiente tabla para estudiar la monotonía de f:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,\frac13)&(\frac13,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • f crece en x\in(-\infty,\frac13)\cup(1,+\infty).
  • f decrece en x\in(\frac13,1).

c) Según la monotonía estudiada en el apartado b) y dado que f es continua y derivable en \mathbb R, observamos un máximo local en x=1/3 y un mínimo local en x=1. Calculamos sus imágenes:

f(1)=1^3-2\cdot1^2+1=0\\f(\frac13)=\dfrac4{27}

Es decir, tenemos un máximo en el punto (\frac13,\frac4{27}) y un mínimo en (1,0).


d) Sabiendo que las funciones polinómicas no tienen asíntotas, con los datos aportados en los apartados anteriores podría quedarnos un esbozo de f semejante a la siguiente gráfica:

p678


e) Recordamos que f(x-a) es una traslación horizontal de la gráfica de f(x) a unidades en el sentido positivo del eje x si a>0, y en el sentido negativo del eje x si a<0.

La función g(x)=(x-2)^3-2(x-2)^2+x-2 no es más que f(x-2), luego todos los puntos de g son los de f trasladados 2 unidades hacia la derecha. En particular, dado que el máximo y mínimo de f son respectivamente (\frac13,\frac4{27}) y (1,0), entonces el máximo y mínimo de g son respectivamente (\frac73,\frac4{27}) y (3,0).

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