Dada la función , se pide:

a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c) Máximos y mínimos locales.
d) Representación gráfica.
e) A partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores, razona en qué puntos la función tiene un máximo y un mínimo local.

Solución:

a) f es una función elemental polinómica. Su dominio es donde es continua y derivable.

• Puntos de corte con el eje x (y=0):
  
  Ecuación cuyas solunciones son x=0, x=1. Luego, los puntos de corte son (0,0) y (1,0).
• Puntos de corte con el eje y (x=0):
  
  El punto de corte con el eje y es (0,0).

b) Nos piden estudiar la monotonía de f. Comenzamos calculando sus puntos críticos:

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=1, x=1/3.
Teniendo en cuenta el dominio y con los dos puntos críticos obtenidos construimos la siguiente tabla para estudiar la monotonía de f:

• f crece en .
• f decrece en .

c) Según la monotonía estudiada en el apartado b) y dado que f es continua y derivable en , observamos un máximo local en x=1/3 y un mínimo local en x=1. Calculamos sus imágenes:

Es decir, tenemos un máximo en el punto y un mínimo en (1,0).

d) Sabiendo que las funciones polinómicas no tienen asíntotas, con los datos aportados en los apartados anteriores podría quedarnos un esbozo de f semejante a la siguiente gráfica:

e) Recordamos que es una traslación horizontal de la gráfica de a unidades en el sentido positivo del eje x si a>0, y en el sentido negativo del eje x si a<0.

La función no es más que , luego todos los puntos de g son los de f trasladados 2 unidades hacia la derecha. En particular, dado que el máximo y mínimo de f son respectivamente y (1,0), entonces el máximo y mínimo de g son respectivamente y (3,0).

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