Problema 679

Imagina cinco sillas alineadas 1, 2, 3, 4, 5 y que un individuo está sentado inicialmente en la silla central (número 3). Se lanza una moneda al aire y, si el resultado es cara, se desplaza la silla situada a su derecha, mientras que si el resultado es cruz, se desplaza a la situada a su izquierda. Se realizan sucesivos lanzamientos (y los cambios de silla consecutivos correspondientes) teniendo en cuenta que si tras alguno de ellos llega a sentarse en alguna de las sillas de los extremos (1 o 5), permanecerá sentado en ella con independencia de los resultados de los lanzamientos posteriores. Se pide:

a) Dibujar el diagrama de árbol para cuatro lanzamientos de moneda.
b) La probabilidad de que tras los tres primeros lanzamientos esté sentado de nuevo en la silla central (3).
c) La probabilidad de que tras los tres primeros lanzamientos esté sentado en alguna de las sillas de los extremos (1 o 5).
d) La probabilidad de que tras los cuatro primeros lanzamientos esté sentado en alguna de las sillas de los extremos (1 o 5).


Solución:

a) Sea C el suceso “sacar cara” y X el suceso “sacar cruz”. En el diagrama de árbol se tiene el número de la silla ocupada en función del resultado obtenido con la moneda:

p679


b) Observamos en el diagrama de árbol que tras los tres primeros lanzamientos, no hay posibilidad de estar sentado en la silla central, es decir, la probabilidad es 0.


c) Primero destacamos que los lanzamientos de la moneda son sucesos independientes y por tanto, la probabilidad de sacar cara o sacar cruz en cada lanzamiento es lo mismo: p=\dfrac12, son equiprobables.

La probabilidad de estar en la silla número 1 o 5 tras las tres primeras tiradas es, utilizando la ley de Laplace:

P[1\cup5]_3=\dfrac48=\dfrac12


d) Para calcular la probabilidad de estar en la silla 1 o 5 tras los 4 lanzamientos utilizamos también la ley de Laplace:

P[1\cup5]_4=\dfrac{12}{16}=\dfrac34

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