Problema 680

Determina las matrices X e Y que satisfacen las relaciones siguientes:

\left\{\begin{array}{rl}X+2Y&=A^t+B\\X-Y&=AB\end{array}\right.

donde A^t representa la matriz traspuesta de A y las matrices A y B son

A=\begin{pmatrix}-1&-2&4\\2&3&0\\1&0&2\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}4&-2&0\\1&2&1\\3&1&0\end{pmatrix}


Solución:

Del sistema de ecuaciones matriciales

\left\{\begin{array}{rl}X+2Y&=A^t+B\\X-Y&=AB\end{array}\right.

si restamos la ecuación primera menos la segunda obtenemos:

3Y=A^t+B-AB~;\\Y=\dfrac13\cdot(A^t+B-AB)

Calculamos Y:

AB=\begin{pmatrix}-1&-2&4\\2&3&0\\1&0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&-2&0\\1&2&1\\3&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&2&-2\\11&2&3\\10&0&0\end{pmatrix}

Y=\dfrac13\cdot(A^t+B-AB)=\dfrac13\cdot\left(\begin{pmatrix}-1&2&1\\-2&3&0\\4&0&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4&-2&0\\1&2&1\\3&1&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6&2&-2\\11&2&3\\10&0&0\end{pmatrix}\right)=\\\\=\dfrac13\cdot\begin{pmatrix}-3&-2&3\\-12&3&-2\\-3&1&2\end{pmatrix}

Sustituyendo en la ecuación segunda

X=AB+Y=\begin{pmatrix}6&2&-2\\11&2&3\\10&0&0\end{pmatrix}+\dfrac13\cdot\begin{pmatrix}-3&-2&3\\-12&3&-2\\-3&1&2\end{pmatrix}=\dfrac13\cdot\begin{pmatrix}15&4&-3\\21&9&7\\27&1&2\end{pmatrix}

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