Problema 681

Un analista pronostica que el beneficio B(x) en miles de euros de cierto fondo de inversión, donde x representa la cantidad invertida en miles de euros, viene dado por la siguiente expresión:

B(x)=\left\{\begin{array}{ccc}-0.01x^2+0.09x+0.1&\text{si}&0<x\leq8\\\\1.26\cdot\dfrac x{x^2-1}+0.02&\text{si}&x>8\end{array}\right.

a) Estudia la continuidad de B(x).
b) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c) ¿Qué capital, en euros, conviene invertir en este fondo para maximizar el beneficio? ¿Cuál será dicho beneficio máximo?
d) Si se invierte un capital muy elevado, ¿cuál sería como mínimo su beneficio? ¿Por qué?


Solución:

a) Por separado, la función y=-0.01x^2+0.09x+0.1 es continua y derivable en todo \mathbb R, y la función y=1.26\cdot\dfrac x{x^2-1}+0.02 es continua y derivable en todo \mathbb R excepto x=±1. Sabiendo esto, solo queda estudiar la continuidad de B en x=8:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow8^+}1.26\cdot\dfrac x{x^2-1}+0.02=0.18\\\bullet~\lim_{x\rightarrow8^-}-0.01x^2+0.09x+0.1=0.18\\\bullet~B(8)=-0.01\cdot8^2+0.09\cdot8+0.1=0.18

Por tanto, la función B es continua en todo su dominio (0,+∞).


b) Para estudiar la monotonía de B, comenzamos calculando sus puntos críticos:

  • Para 0<x<8:
    B'(x)=-0.02x+0.09=0\\x=4.5
  • Para x>8:
    B'(x)=1.26\cdot\dfrac{x^2-1-x\cdot2x}{(x^2-1)^2}=-1.26\cdot\dfrac{x^2+1}{(x^2-1)^2}=0\\-1.26\cdot(x^2+1)=0\\x^2+1=0!!!
    No tiene puntos críticos.

Luego, el único punto crítico es x=4.5.
Teniendo en cuenta el dominio y el punto crítico, construimos la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(0,4.5)&(4.5,8)&(8,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }B'(x)&+&-&-\\\hline \mbox{Monotonia }B(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

  • Crece en (0,4.5)
  • Decrece en (4.5,+∞)

c) En el apartado anterior observamos que en x=4.5 se obtiene un máximo absoluto de B:

B(4.5)=-0.01\cdot4.5^2+0.09\cdot4.5+0.1=0.3025

Es decir, invirtiendo 4500 euros se pronostica un beneficio máximo de 302.5 euros.


d) Si se invierte una cantidad elevada de dinero, se obtendrá un beneficio de:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}1.26\cdot\dfrac x{x^2-1}+0.02=\lim_{x\rightarrow+\infty}1.26\cdot\dfrac x{x^2-1}+\lim_{x\rightarrow+\infty}0.02=0+0.02=0.02

El beneficio sería de 20 euros.

Recordemos que

\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}1.26\cdot\dfrac x{x^2-1}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow+\infty}1.26\cdot\dfrac x{x^2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1.26}x=0

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