Problema 682

Una compañía de transporte interurbano cubre el desplazamiento a tres municipios distintos. El 35% de los recorridos diarios realizados por los autobuses de esta compañía corresponden al destino 1, el 20% al destino 2 y el 45% al destino 3. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un recorrido de autobús sufra un retraso es del 2%, 5% y 3% para cada uno de los destinos 1, 2 y 3, respectivamente.

a) ¿Qué porcentaje de los recorridos diarios de esta compañía llegan con puntualidad a su destino?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un recorrido seleccionado al azar corresponda al destino 2 y haya experimentado un retraso?
c) Si seleccionamos un recorrido al azar y resulta que sufrió un retraso, ¿cuál era el destino más probable de dicho recorrido?


Solución:

A partir del enunciado definimos los siguientes sucesos: D1 es el suceso “recorrido al destino 1”, D2 es el suceso “recorrido al destino 2”, D3 es el suceso “recorrido al destino 3” y R es el suceso “llegar al destino con retraso”.
También nos dan las siguientes probabilidades:

\bullet~P[D1]=0.35\\\bullet~P[D2]=0.2\\\bullet~P[D3]=0.45\\\bullet~P[R/D1]=0.02\\\bullet~P[R/D2]=0.05\\\bullet~P[R/D3]=0.03

a) Llegar con puntualidad es el suceso contrario a llegar con retraso:

P[\overline R]=1-P[R]

siendo

P[R]=P[D1]\cdot P[R/D1]+P[D2]\cdot P[R/D2]+P[D3]\cdot P[R/D3]=\\\\=0.35\cdot0.02+0.2\cdot0.05+0.45\cdot0.03=0.0305

Luego la probabilidad de llegar puntualmente es

P[\overline R]=1-0.0305=0.9695


b) Nos piden P[D2\cap R]:

P[D2\cap R]=P[D2]\cdot P[R/D2]=0.2\cdot0.05=0.01


c) Calculamos la probabilidad de llegar a cada destino sabiendo que ha llegado con un retraso. Utilizamos el teorema de Bayes:

\bullet~P[D1/R]=\dfrac{P[D1]\cdot P[R/D1]}{P[R]}=\dfrac{0.35\cdot0.02}{0.0305}=0.2295\\\bullet~P[D2/R]=\dfrac{P[D2]\cdot P[R/D2]}{P[R]}=\dfrac{0.2\cdot0.05}{0.0305}=0.328\\\bullet~P[D3/R]=\dfrac{P[D3]\cdot P[R/D3]}{P[R]}=\dfrac{0.45\cdot0.03}{0.0305}=0.3857

Luego, si el transporte ha sufrido un retraso, lo más probable es que haya sido en el recorrido del destino 3.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s