Una compañía de transporte interurbano cubre el desplazamiento a tres municipios distintos. El 35% de los recorridos diarios realizados por los autobuses de esta compañía corresponden al destino 1, el 20% al destino 2 y el 45% al destino 3. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un recorrido de autobús sufra un retraso es del 2%, 5% y 3% para cada uno de los destinos 1, 2 y 3, respectivamente.
a) ¿Qué porcentaje de los recorridos diarios de esta compañía llegan con puntualidad a su destino?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un recorrido seleccionado al azar corresponda al destino 2 y haya experimentado un retraso?
c) Si seleccionamos un recorrido al azar y resulta que sufrió un retraso, ¿cuál era el destino más probable de dicho recorrido?
Solución:
A partir del enunciado definimos los siguientes sucesos: D1 es el suceso “recorrido al destino 1”, D2 es el suceso “recorrido al destino 2”, D3 es el suceso “recorrido al destino 3” y R es el suceso “llegar al destino con retraso”.
También nos dan las siguientes probabilidades:
![\bullet~P[D1]=0.35\\\bullet~P[D2]=0.2\\\bullet~P[D3]=0.45\\\bullet~P[R/D1]=0.02\\\bullet~P[R/D2]=0.05\\\bullet~P[R/D3]=0.03](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cbullet%7EP%5BD1%5D%3D0.35%5C%5C%5Cbullet%7EP%5BD2%5D%3D0.2%5C%5C%5Cbullet%7EP%5BD3%5D%3D0.45%5C%5C%5Cbullet%7EP%5BR%2FD1%5D%3D0.02%5C%5C%5Cbullet%7EP%5BR%2FD2%5D%3D0.05%5C%5C%5Cbullet%7EP%5BR%2FD3%5D%3D0.03&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "\bullet~P[D1]=0.35\\\bullet~P[D2]=0.2\\\bullet~P[D3]=0.45\\\bullet~P[R/D1]=0.02\\\bullet~P[R/D2]=0.05\\\bullet~P[R/D3]=0.03")
a) Llegar con puntualidad es el suceso contrario a llegar con retraso:
![P[\overline R]=1-P[R]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5B%5Coverline+R%5D%3D1-P%5BR%5D&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "P[\overline R]=1-P[R]")
siendo
![P[R]=P[D1]\cdot P[R/D1]+P[D2]\cdot P[R/D2]+P[D3]\cdot P[R/D3]=\\\\=0.35\cdot0.02+0.2\cdot0.05+0.45\cdot0.03=0.0305](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BR%5D%3DP%5BD1%5D%5Ccdot+P%5BR%2FD1%5D%2BP%5BD2%5D%5Ccdot+P%5BR%2FD2%5D%2BP%5BD3%5D%5Ccdot+P%5BR%2FD3%5D%3D%5C%5C%5C%5C%3D0.35%5Ccdot0.02%2B0.2%5Ccdot0.05%2B0.45%5Ccdot0.03%3D0.0305&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "P[R]=P[D1]\cdot P[R/D1]+P[D2]\cdot P[R/D2]+P[D3]\cdot P[R/D3]=\\\\=0.35\cdot0.02+0.2\cdot0.05+0.45\cdot0.03=0.0305")
Luego la probabilidad de llegar puntualmente es
![P[\overline R]=1-0.0305=0.9695](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5B%5Coverline+R%5D%3D1-0.0305%3D0.9695&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "P[\overline R]=1-0.0305=0.9695")
b) Nos piden ![P[D2\cap R]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BD2%5Ccap+R%5D&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "P[D2\cap R]")
![P[D2\cap R]=P[D2]\cdot P[R/D2]=0.2\cdot0.05=0.01](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BD2%5Ccap+R%5D%3DP%5BD2%5D%5Ccdot+P%5BR%2FD2%5D%3D0.2%5Ccdot0.05%3D0.01&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "P[D2\cap R]=P[D2]\cdot P[R/D2]=0.2\cdot0.05=0.01")
c) Calculamos la probabilidad de llegar a cada destino sabiendo que ha llegado con un retraso. Utilizamos el teorema de Bayes:
![\bullet~P[D1/R]=\dfrac{P[D1]\cdot P[R/D1]}{P[R]}=\dfrac{0.35\cdot0.02}{0.0305}=0.2295\\\bullet~P[D2/R]=\dfrac{P[D2]\cdot P[R/D2]}{P[R]}=\dfrac{0.2\cdot0.05}{0.0305}=0.328\\\bullet~P[D3/R]=\dfrac{P[D3]\cdot P[R/D3]}{P[R]}=\dfrac{0.45\cdot0.03}{0.0305}=0.3857](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cbullet%7EP%5BD1%2FR%5D%3D%5Cdfrac%7BP%5BD1%5D%5Ccdot+P%5BR%2FD1%5D%7D%7BP%5BR%5D%7D%3D%5Cdfrac%7B0.35%5Ccdot0.02%7D%7B0.0305%7D%3D0.2295%5C%5C%5Cbullet%7EP%5BD2%2FR%5D%3D%5Cdfrac%7BP%5BD2%5D%5Ccdot+P%5BR%2FD2%5D%7D%7BP%5BR%5D%7D%3D%5Cdfrac%7B0.2%5Ccdot0.05%7D%7B0.0305%7D%3D0.328%5C%5C%5Cbullet%7EP%5BD3%2FR%5D%3D%5Cdfrac%7BP%5BD3%5D%5Ccdot+P%5BR%2FD3%5D%7D%7BP%5BR%5D%7D%3D%5Cdfrac%7B0.45%5Ccdot0.03%7D%7B0.0305%7D%3D0.3857&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "\bullet~P[D1/R]=\dfrac{P[D1]\cdot P[R/D1]}{P[R]}=\dfrac{0.35\cdot0.02}{0.0305}=0.2295\\\bullet~P[D2/R]=\dfrac{P[D2]\cdot P[R/D2]}{P[R]}=\dfrac{0.2\cdot0.05}{0.0305}=0.328\\\bullet~P[D3/R]=\dfrac{P[D3]\cdot P[R/D3]}{P[R]}=\dfrac{0.45\cdot0.03}{0.0305}=0.3857")
Luego, si el transporte ha sufrido un retraso, lo más probable es que haya sido en el recorrido del destino 3.
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