Problema 683

Representa gráficamente la región determinada por el sistema de inecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}x\geq10\\x\leq20\\x\geq\dfrac y3\\12x+20y\geq360\end{array}\right.

y calculas sus vértices. ¿Cuál es el mínimo de la función f(x,y)=x-2y en esta región? ¿En qué punto se alcanza?


Solución:

Escribimos el sistema de ecuaciones, representamos las rectas en una misma gráfica:

p683

\left\{\begin{array}{cl}x\geq10&\rightarrow x=10\\x\leq20&\rightarrow x=20\\x\geq\dfrac y3&\rightarrow y=3x\\12x+20y\geq360&\rightarrow3x+5y=90\end{array}\right.

La región factible es la zona sombreada que está formada por los puntos que verifican todas las inecuaciones.
La región factible es un polígono que tiene cuatro vértices, cada uno de los cuales calculamos resolviendo los sistemas siguientes:

A:~\left\{\begin{array}{l}x=10\\y=3x\end{array}\right.\rightarrow A=(10,30)\\B:~\left\{\begin{array}{l}x=20\\y=3x\end{array}\right.\rightarrow B=(20,60)\\C:~\left\{\begin{array}{l}x=20\\3x+5y=90\end{array}\right.\rightarrow C=(20,6)\\D:~\left\{\begin{array}{l}x=10\\3x+5y=90\end{array}\right.\rightarrow D=(10,12)

Evaluamos la función f(x,y)=x-2y en cada uno de los vértices:

A\rightarrow f(10,30)=10-2\cdot30=-50\\B\rightarrow f(20,60)=20-2\cdot60=-100\\C\rightarrow f(20,6)=20-2\cdot6=8\\D\rightarrow f(10,12)=10-2\cdot12=-14

Observamos que el mínimo de f se obtiene en el punto (20,60) y su valor es de -100.

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