La evolución del precio de cierta acción, en euros, un día determinado siguió la función:
![f(x)=35.7\cdot\dfrac{x+2}{x^2+21},\qquad x\in[0,8]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=f%28x%29%3D35.7%5Ccdot%5Cdfrac%7Bx%2B2%7D%7Bx%5E2%2B21%7D%2C%5Cqquad+x%5Cin%5B0%2C8%5D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "f(x)=35.7\cdot\dfrac{x+2}{x^2+21},\qquad x\in[0,8]")
donde x representa el tiempo, en horas, transcurrido desde la apertura de la sesión. Se pide:
a) Calcular el valor máximo que alcanzó la acción y en qué momento se alcanzó.
b) Calcular el valor mínimo que alcanzó la acción y en qué momento se alcanzó.
c) Una persona compró 20 acciones en el momento de la apertura (x=0) y las venció justo al cierre (x=8). Determinar si obtuvo ganancias o pérdidas y la cuantía de estas.
Solución:
a) Los máximos y mínimos de una función continua y derivable como la función racional f, está en alguno de sus puntos críticos. Calculamos los puntos críticos de f:
Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=-7, x=3.
Teniendo en cuenta el dominio, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:
A partir de la monotonía observamos que f alcanza un máximo en el punto x=3 horas, y el precio de la acción es:
b) Según la monotonía estudiada anteriormente, el mínimo de f se obtendrá en alguno de los extremos del dominio:
Luego, el valor mínimo de la acción se obtiene al principio de la sesión y su valor es de 3.4 euros.
c) Calculamos anteriormente el precio de la acción en x=0 y x=8. El incremento del precio de la acción entre el inicio y el final de la sesión es:
Es un incremento positivo por lo que obtuvo unas ganancias totales de:
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