Problema 684

La evolución del precio de cierta acción, en euros, un día determinado siguió la función:

f(x)=35.7\cdot\dfrac{x+2}{x^2+21},\qquad x\in[0,8]

donde x representa el tiempo, en horas, transcurrido desde la apertura de la sesión. Se pide:

a) Calcular el valor máximo que alcanzó la acción y en qué momento se alcanzó.
b) Calcular el valor mínimo que alcanzó la acción y en qué momento se alcanzó.
c) Una persona compró 20 acciones en el momento de la apertura (x=0) y las venció justo al cierre (x=8). Determinar si obtuvo ganancias o pérdidas y la cuantía de estas.


Solución:

a) Los máximos y mínimos de una función continua y derivable como la función racional f, está en alguno de sus puntos críticos. Calculamos los puntos críticos de f:

f'(x)=35.7\cdot\dfrac{x^2+21-(x+2)2x}{(x^2+21)^2}=35.7\cdot\dfrac{x^2+21-2x^2-4x}{(x^2+21)^2}=\\\\=35.7\cdot\dfrac{-x^2-4x+21}{(x^2+21)^2}=0~;\\\\-x^2-4x+21=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=-7, x=3.
Teniendo en cuenta el dominio, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,3)&(3,8)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

A partir de la monotonía observamos que f alcanza un máximo en el punto x=3 horas, y el precio de la acción es:

f(3)=5.95 euros.


b) Según la monotonía estudiada anteriormente, el mínimo de f se obtendrá en alguno de los extremos del dominio:

f(0)=3.4\\f(8)=4.2

Luego, el valor mínimo de la acción se obtiene al principio de la sesión y su valor es de 3.4 euros.


c) Calculamos anteriormente el precio de la acción en x=0 y x=8. El incremento del precio de la acción entre el inicio y el final de la sesión es:

4.2-3.4=0.8 euros

Es un incremento positivo por lo que obtuvo unas ganancias totales de:

0.8\cdot20=16 euros.

 

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s