Problema 684

La evolución del precio de cierta acción, en euros, un día determinado siguió la función:

$f(x)=35.7\cdot\dfrac{x+2}{x^2+21},\qquad x\in[0,8]$

donde x representa el tiempo, en horas, transcurrido desde la apertura de la sesión. Se pide:

a) Calcular el valor máximo que alcanzó la acción y en qué momento se alcanzó.
b) Calcular el valor mínimo que alcanzó la acción y en qué momento se alcanzó.
c) Una persona compró 20 acciones en el momento de la apertura (x=0) y las venció justo al cierre (x=8). Determinar si obtuvo ganancias o pérdidas y la cuantía de estas.

Solución:

a) Los máximos y mínimos de una función continua y derivable como la función racional f, está en alguno de sus puntos críticos. Calculamos los puntos críticos de f:

$f'(x)=35.7\cdot\dfrac{x^2+21-(x+2)2x}{(x^2+21)^2}=35.7\cdot\dfrac{x^2+21-2x^2-4x}{(x^2+21)^2}=\\\\=35.7\cdot\dfrac{-x^2-4x+21}{(x^2+21)^2}=0~;\\\\-x^2-4x+21=0$

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=-7, x=3.
Teniendo en cuenta el dominio, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,3)&(3,8)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}$