Problema 686

Un estudiante obtuvo una calificación de 7.5 puntos en un examen de tres preguntas. En la tercera pregunta obtuvo un punto más que en la segunda y los puntos que consiguió en la primera pregunta quintuplicaron la diferencia entre la puntuación obtenida en la tercera y primera preguntas. ¿Cuál fue la puntuación obtenida en cada una de las preguntas?


Solución:

Sea x la puntuación obtenida en la primera pregunta, y la puntuación obtenida en la segunda y z la puntuación obtenida en la tercera:

  • Se obtuvo una calificación total de 7.5 puntos: x+y+z=7.5
  • En la tercera obtuvo un punto más que en la segunda: z=y+1
  • La puntuación de la primera quintuplico la diferencia entre la tercera y la primera: x=5\cdot(z-x)

Con estas tres ecuaciones formamos el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=7.5\\-y+z&=1\\6x-5z&=0\end{array}\right.

Resolvemos este sistema utilizando el método de Gauss:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=7.5\\-y+z&=1\\6x-5z&=0\end{array}\right.\rightarrow\left[E_3'=E_3-6E_1\right]\rightarrow\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=7.5\\-y+z&=1\\-6y-11z&=-45\end{array}\right.\rightarrow\\\\\rightarrow[E_3'=E_3-6E_2]\rightarrow\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=7.5\\-y+z&=1\\-17z&=-51\end{array}\right.

De la última ecuación tenemos

z=\dfrac{-51}{-17}=3

De la segunda ecuación

-y+z=1~;\\y=3-1=2

Por último, de la primera ecuación:

x+y+z=7.5~;\\x=7.5-2-3=2.5

Es decir, el estudiante obtuvo 2.5 puntos en la primera pregunta, 2 puntos en la segunda pregunta y 3 puntos en la tercera pregunta.

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