Problema 687

Sea la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x^3-3x-20&\text{si}&x\leq3\\\\\dfrac2{a-x}&\text{si}&x>3\end{array}\right.

a) Calcula el valor de a para el que f es continua en x=3.
b) Para a=0, estudia el crecimiento y decrecimiento de f.
c) Para a=0, calcula los máximos y mínimos locales de f.


Solución:

a) Continuidad en x=3:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow3^+}\dfrac2{a-x}=\dfrac2{a-3}\\\bullet~\lim_{x\rightarrow3^-}x^3-3x-20=-2\\\bullet~f(3)=3^3-3\cdot3-20=-2

Para que f sea continua en x=3, ha de ser

\dfrac2{a-3}=-2~;\\2=-2(a-3)~;\\a-3=-1~;\\\boxed{a=2}


b) Para a=0, la función de proporcionalidad inversa y=\dfrac2{-x} estaría definida en todo \mathbb R excepto en x=0.
Calculamos los puntos críticos de f:

\bullet~(x^3-3x-20)'=3x^2-3=0~;\\x^2-1=0~;\\x=\pm1\\\bullet~\left(\dfrac2{-x}\right)'=\dfrac{-2\cdot(-1)}{(-x)^2}=\dfrac2{x^2}=0~;\\2=0!!!

Teniendo en cuenta el dominio y los puntos críticos, construimos la siguiente tabla de monotonía:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}3x^2-3&\text{si}&x<3\\\\\dfrac2{x^2}&\text{si}&x>3\end{array}\right.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-1)&(-1,1)&(1,3)&(3,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • f es creciente en (-\infty,-1)\cup(1,3)\cup(3,+\infty).
  • f es decreciente en (-1,1).

c) Según la tabla de monotonía de f vista en el apartado anaterior, para a=0, observamos un máximo local en x=-1 cuyo valor es f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)-20=-18.
Se observa también un mínimo local en x=1 cuyo valor es f(1)=1^3-3\cdot1-20=-22

  • Máximo local: (-1,-18)
  • Mínimo local: (1,-22)

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