Problema 689

Considérense las matrices:

A=\begin{pmatrix}1&2&-k\\1&-2&1\\k&2&-1\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&2&2\\0&0&3\end{pmatrix}

a) Discútase para qué valores del parámetro real k la matriz A tiene matriz inversa.
b) Determínese para k=0 la matriz X que verifica la ecuación AX=B.


Solución:

a) Una matriz A tiene matriz inversa si su determinantes es distinto de 0. Calculamos el determinantes de A:

|A|=\begin{vmatrix}1&2&-k\\1&-2&1\\k&2&-1\end{vmatrix}=2+2k-2k-2k^2+2-2=-2k^2+2

Igualamos a 0 este determinante y resolvemos:

-2k^2+2=0~;\\k^2=1~;\\k=\pm1

Luego, la matriz A tiene inversa para todo k\in\mathbb R\setminus\{-1,1\}.


b) Si despejamos X de la ecuación matricial, resulta

AX=B~;\\X=A^{-1}B

Calculamos la matriz inversa de A para k=0 utilizando la fórmula:

\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj}A)^t}

|A|=-2\cdot0^2+2=2

\text{Adj}A=\begin{pmatrix}0&1&2\\2&-1&-2\\2&-1&-4\end{pmatrix}

Luego

A^{-1}=\dfrac12\cdot\begin{pmatrix}0&2&2\\1&-1&-1\\2&-2&-4\end{pmatrix}

Por último:

X=A^{-1}B=\dfrac12\cdot\begin{pmatrix}0&2&2\\1&-1&-1\\2&-2&-4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&2&2\\0&0&3\end{pmatrix}=\dfrac12\begin{pmatrix}0&4&10\\1&-1&-4\\2&-2&-14\end{pmatrix}

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