Problema 690

Considérese la región del plano S definida por:

S=\{(x,y)\in\mathbb R^2:~x+6y\geq6;~5x-2y\geq-2;~x+3y\leq20;~2x-y\leq12\}

a) Represéntese gráficamente la región S y calcúlense las coordenadas de sus vértices.
b) Determínense los puntos en los que la función f(x,y)=4x-3y alcanza sus valores máximo y mínimo en S, indicando el valor f(x,y) en dichos puntos.


Solución:

a) Escribimos las ecuaciones de las rectas a partir de las inecuaciones, y las representamos:

\left\{\begin{array}{lcl}x+6y\geq6&\rightarrow&x+6y=6\\5x-2y\geq-2&\rightarrow&5x-2y=-2\\x+3y\leq20&\rightarrow&x+3y=20\\2x-y\leq12&\rightarrow&2x-y=12\end{array}\right.

p690

La zona sombreada es la región S formado por los puntos que verifican todas las inecuaciones.

Cada vértice es la intersección de dos rectas. Las coordenadas de esos vértices son la solución del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las rectas.

A\rightarrow\left\{\begin{array}{l}5x-2y=-2\\x+3y=20\end{array}\right.\rightarrow A=(2,6)\\B\rightarrow\left\{\begin{array}{l}2x-y=12\\x+3y=20\end{array}\right.\rightarrow B=(8,4)\\C\rightarrow\left\{\begin{array}{l}2x-y=12\\x+6y=6\end{array}\right.\rightarrow C=(6,0)\\D\rightarrow\left\{\begin{array}{l}5x-2y=-2\\x+6y=6\end{array}\right.\rightarrow D=(0,1)


b) Evaluamos la función f(x,y)=4x-3y en cada uno de los vértices:

A\rightarrow f(2,6)=4\cdot2-3\cdot6=-10\\B\rightarrow f(8,4)=4\cdot8-3\cdot4=20\\C\rightarrow f(6,0)=4\cdot6-3\cdot0=24\\D\rightarrow f(0,1)=4\cdot0-3\cdot1=-3

El valor mínimo de la función se obtiene en el punto (2,6) y su valor es -10, y el valor máximo de la función se obtiene en el punto (6,0) y su valor es 24.

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