Problema 691

a) Determínese el valor de la derivada de la función $f(x)=\dfrac{e^x}{1+x}$ en el punto de abscisa x=0.

b) Estúdiense las asíntotas de la función $f(x)=\dfrac{x^3}{1-x^2}$ .

Solución:

$f'(x)=\dfrac{e^x(1+x)-e^x}{(1+x)^2}=\dfrac{xe^x}{(1+x)^2}$

$f'(0)=\dfrac{0\cdot e^0}{(1+0)^2}=0$

b) La función f es una función racional cuyo dominio es el conjunto formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador:

$1-x^2=0~;\\\\x=\pm1$

Luego el dominio de f es $\mathbb R\setminus\{-1,1\}$ .

Las asíntotas verticales, de existir, estarán en x=-1 y x=1.

Asíntota vertical en x=-1:
$\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-1^+}\dfrac{x^3}{1-x^2}=\dfrac{-1}{0^+}=-\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-1^-}\dfrac{x^3}{1-x^2}=\dfrac{-1}{0^-}=+\infty$
Luego, existe una asíntota vertical de ecuación x=-1.
Asíntota vertical en x=1:
$\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow1^+}\dfrac{x^3}{1-x^2}=\dfrac1{0^-}=-\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow1^-}\dfrac{x^3}{1-x^2}=\dfrac1{0^+}=+\infty$
También existe otro asíntota vertical de ecuación x=1.
Asíntota horizontal:
$\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{x^3}{1-x^2}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{x^3}{-x^2}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac x{-1}=\mp\infty$
No tiene asíntota horizontal.
Asíntota oblicua ( $y=mx+n$ ):
$\displaystyle\bullet~m=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^3}{x(1-x^2)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^3}{x-x^3}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^3}{-x^3}=\lim_{x\rightarrow\infty}-1=-1\\\bullet~n=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^3}{1-x^2}-(-1)x=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^3+x-x^3}{1-x^2}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac x{1-x^2}=\dfrac{\infty}{\infty}=\\=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac x{-x^2}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac 1{-x}=0$
Luego, la ecuación de la asíntota oblicua es $y=-x$ .

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