Problema 691

a) Determínese el valor de la derivada de la función f(x)=\dfrac{e^x}{1+x} en el punto de abscisa x=0.

b) Estúdiense las asíntotas de la función f(x)=\dfrac{x^3}{1-x^2}.


Solución:

a) Utilizaremos la tabla de derivadas:

f'(x)=\dfrac{e^x(1+x)-e^x}{(1+x)^2}=\dfrac{xe^x}{(1+x)^2}

f'(0)=\dfrac{0\cdot e^0}{(1+0)^2}=0


b) La función f es una función racional cuyo dominio es el conjunto formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador:

1-x^2=0~;\\\\x=\pm1

Luego el dominio de f es \mathbb R\setminus\{-1,1\}.

Las asíntotas verticales, de existir, estarán en x=-1 y x=1.

  • Asíntota vertical en x=-1:
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-1^+}\dfrac{x^3}{1-x^2}=\dfrac{-1}{0^+}=-\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-1^-}\dfrac{x^3}{1-x^2}=\dfrac{-1}{0^-}=+\infty
    Luego, existe una asíntota vertical de ecuación x=-1.
  • Asíntota vertical en x=1:
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow1^+}\dfrac{x^3}{1-x^2}=\dfrac1{0^-}=-\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow1^-}\dfrac{x^3}{1-x^2}=\dfrac1{0^+}=+\infty
    También existe otro asíntota vertical de ecuación x=1.
  • Asíntota horizontal:
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{x^3}{1-x^2}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{x^3}{-x^2}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac x{-1}=\mp\infty
    No tiene asíntota horizontal.
  • Asíntota oblicua (y=mx+n):
    \displaystyle\bullet~m=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^3}{x(1-x^2)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^3}{x-x^3}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^3}{-x^3}=\lim_{x\rightarrow\infty}-1=-1\\\bullet~n=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^3}{1-x^2}-(-1)x=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^3+x-x^3}{1-x^2}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac x{1-x^2}=\dfrac{\infty}{\infty}=\\=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac x{-x^2}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac 1{-x}=0
    Luego, la ecuación de la asíntota oblicua es y=-x.

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