Problema 692

Una empresa de reparto de paquetería clasifica sus furgonetas en función de su antigüedad. El 25 % de sus furgonetas tiene menos de dos años de antigüedad, el 40 % tiene una antigüedad entre dos y cuatro años y el resto tiene una antigüedad superior a cuatro años. La probabilidad de que una furgoneta se estropee es 0’01 si tiene una antigüedad inferior a dos años; 0’05 si tiene una antigüedad entre dos y cuatro años y 0’12 si tiene una antigüedad superior a cuatro años. Se escoge una furgoneta al azar de esta empresa. Calcúlese la probabilidad de que la furgoneta escogida:

a) Se estropee.
b) Tenga una antigüedad superior a cuatro años sabiendo que no se ha estropeado.


Solución:

Llamamos A al suceso “ser una furgoneta con antigüedad inferior a dos años”, B al suceso “ser una furgoneta con antigüedad entre dos y cuatro años”, C al suceso “ser una furgoneta con antigüedad superior a cuatro años” y E al suceso “ser una furgoneta estropeada”.
En el enunciado nos dan las siguientes probabilidades:

\bullet~P[A]=0.25\\\bullet~P[B]=0.4\\\bullet~P[C]=0.35\\\bullet~P[E/A]=0.01\\\bullet~P[E/B]=0.05\\\bullet~P[E/C]=0.12

a) Nos piden la probabilidad total del suceso E:

P[E]=P[A]\cdot P[E/A]+P[B]\cdot P[E/B]+P[C]\cdot P[E/C]=\\\\=0.25\cdot0.01+0.4\cdot0.05+0.35\cdot0.12=0.0645


b) Nos piden la probabilidad condicionada P[C/\overline E]. Utilizamos el teorema de Bayes:

P[C/\overline E]=\dfrac{P[C]\cdot P[\overline E/C]}{P[\overline E]}

Sabemos que:

\bullet~P[\overline E/C]=1-P[E/C]=1-0.12=0.88\\\bullet~P[\overline E]=1-P[E]=1-0.0645=0.9355

Luego:

P[C/\overline E]=\dfrac{0.35\cdot0.88}{0.9355}=0.329

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