Problema 693

El peso en canal, en kilogramos (kg), de una raza de corderos a las seis semanas de su nacimiento se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ y desviación típica igual a 0’9 kg.

a) Se tomó una muestra aleatoria simple de 324 corderos y el peso medio observado fue \overline x=7.8 kg. Obténgase un intervalo de confianza con un nivel del 99’2 % para μ .
b) Determínese el tamaño mínimo que debería tener una muestra aleatoria simple de la variable para que el correspondiente intervalo de confianza para μ al 95 % tenga una amplitud a lo sumo de 0’2 kg.


Solución:

a) El intervalo de confianza tiene la forma:

(\overline x-E,\overline x+E)

donde el error es E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}, con σ=0.9, n=324 y z_{\alpha/2}=2.65 para un nivel de confianza del 99.2%. Luego

E=2.65\cdot\dfrac{0.9}{\sqrt{324}}=0.1325

Dado que \overline x=7.8, entonces el intervalo de confianza es:

(7.6675,7.9325)


b) Si la amplitud del intervalo de confianza es A=0.2 kg, entonces, el error es E=\dfrac A2=0.1 kg.
A partir de la fórmula del error obtenemos el tamaño muestral n, sabiendo que para un nivel de confianza del 95% tenemos el valor z_{\alpha/2}=1.96:

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}~;\\\\\sqrt n=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E~;\\\\n=\left(z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E\right)^2=\left(1.96\cdot\dfrac{0.9}{0.1}\right)^2=311.1

Luego, el tamaño muestral ha de ser de al menos 312 corderos.

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