Problema 694

Considérese el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real a:

$\left\{\begin{array}{rl}x-ay+2z&=0\\ax-4y-4z&=0\\(2-a)x+3y-2z&=0\end{array}\right.$

a) Discútase en función de los valores del parámetro a.
b) Resuélvase para a = 3.

Solución:

a) Escribimos el sistema en forma matricial $MX=N$ :

$\underbrace{\begin{pmatrix}1&-a&2\\a&-4&-4\\2-a&3&-2\end{pmatrix}}_M\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$

Para discutir la compatibilidad del sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos calculando el rango de la matriz M:

$|M|=\begin{vmatrix}1&-a&2\\a&-4&-4\\2-a&3&-2\end{vmatrix}=8+4a(2-a)+6a+8(2-a)-2a^2+12=\\\\=8+8a-4a^2+6a+16-8a-2a^2+12=-6a^2+6a+36=-6(a^2-a-6)$

Determinante que se anula para a=3, a=-2. Por tanto:

Si a≠3 y a≠-2, entonces el rango de M es 3. Al ser un sistema homogéneo el rango de la matriz ampliada también es 3, como el número de variables n=3, y el sistema es compatible determinado.
Si a=3, entonces $M=\begin{pmatrix}1&-3&2\\3&-4&-4\\-1&3&-2\end{pmatrix}$ cuyo rango es 2 ya que $\begin{vmatrix}1&-3\\3&-4\end{vmatrix}=5\neq0$ . Al ser el sistema homogéneo, el sistema es compatible indeterminado.
Si a=-2, entonces $M=\begin{pmatrix}1&2&2\\-2&-4&-4\\4&3&-2\end{pmatrix}$ tiene rango 2 ya que $\begin{vmatrix}-2&-4\\4&3\end{vmatrix}=10\neq0$ . Al ser el sistema homogéneo, el sistema también es compatible indeterminado.

b) Como vimos antes, para a=3, el sistema es compatible indeterminado. El rango de la matriz de coeficientes es 2, luego el sistema:

$\left\{\begin{array}{rl}x-3y+2z&=0\\3x-4y-4z&=0\\-x+3y-2z&=0\end{array}\right.$

es equivalente a

$\left\{\begin{array}{rl}x-3y+2z&=0\\3x-4y-4z&=0\end{array}\right.$

Dado que el número de variables es n=3 y el rango de la matriz de coeficientes es 2, la solución tendrá 3-2=1 parámetro.
Parametrizamos la variable z:

$z=\lambda$