Considérese el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real a:
a) Discútase en función de los valores del parámetro a.
b) Resuélvase para a = 3.
Solución:
a) Escribimos el sistema en forma matricial :
Para discutir la compatibilidad del sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos calculando el rango de la matriz M:
Determinante que se anula para a=3, a=-2. Por tanto:
- Si a≠3 y a≠-2, entonces el rango de M es 3. Al ser un sistema homogéneo el rango de la matriz ampliada también es 3, como el número de variables n=3, y el sistema es compatible determinado.
- Si a=3, entonces
cuyo rango es 2 ya que
. Al ser el sistema homogéneo, el sistema es compatible indeterminado.
- Si a=-2, entonces
tiene rango 2 ya que
. Al ser el sistema homogéneo, el sistema también es compatible indeterminado.
b) Como vimos antes, para a=3, el sistema es compatible indeterminado. El rango de la matriz de coeficientes es 2, luego el sistema:
es equivalente a
Dado que el número de variables es n=3 y el rango de la matriz de coeficientes es 2, la solución tendrá 3-2=1 parámetro.
Parametrizamos la variable z:
Resolvemos este sistema utilizando la regla de Cramer:
Luego, para a=3, la solución del sistema es .
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