Problema 694

Considérese el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real a:

\left\{\begin{array}{rl}x-ay+2z&=0\\ax-4y-4z&=0\\(2-a)x+3y-2z&=0\end{array}\right.

a) Discútase en función de los valores del parámetro a.
b) Resuélvase para a = 3.


Solución:

a) Escribimos el sistema en forma matricial MX=N:

\underbrace{\begin{pmatrix}1&-a&2\\a&-4&-4\\2-a&3&-2\end{pmatrix}}_M\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}

Para discutir la compatibilidad del sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos calculando el rango de la matriz M:

|M|=\begin{vmatrix}1&-a&2\\a&-4&-4\\2-a&3&-2\end{vmatrix}=8+4a(2-a)+6a+8(2-a)-2a^2+12=\\\\=8+8a-4a^2+6a+16-8a-2a^2+12=-6a^2+6a+36=-6(a^2-a-6)

Determinante que se anula para a=3, a=-2. Por tanto:

  • Si a≠3 y a≠-2, entonces el rango de M es 3. Al ser un sistema homogéneo el rango de la matriz ampliada también es 3, como el número de variables n=3, y el sistema es compatible determinado.
  • Si a=3, entonces M=\begin{pmatrix}1&-3&2\\3&-4&-4\\-1&3&-2\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-3\\3&-4\end{vmatrix}=5\neq0. Al ser el sistema homogéneo, el sistema es compatible indeterminado.
  • Si a=-2, entonces M=\begin{pmatrix}1&2&2\\-2&-4&-4\\4&3&-2\end{pmatrix} tiene rango 2 ya que \begin{vmatrix}-2&-4\\4&3\end{vmatrix}=10\neq0. Al ser el sistema homogéneo, el sistema también es compatible indeterminado.

b) Como vimos antes, para a=3, el sistema es compatible indeterminado. El rango de la matriz de coeficientes es 2, luego el sistema:

\left\{\begin{array}{rl}x-3y+2z&=0\\3x-4y-4z&=0\\-x+3y-2z&=0\end{array}\right.

es equivalente a

\left\{\begin{array}{rl}x-3y+2z&=0\\3x-4y-4z&=0\end{array}\right.

Dado que el número de variables es n=3 y el rango de la matriz de coeficientes es 2, la solución tendrá 3-2=1 parámetro.
Parametrizamos la variable z:

z=\lambda

\left\{\begin{array}{rl}x-3y&=-2\lambda\\3x-4y&=4\lambda\end{array}\right.

Resolvemos este sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}-2\lambda&-3\\4\lambda&-4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-3\\3&-4\end{vmatrix}}=\dfrac{\lambda(8-12)}{5}=-\lambda

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&-2\lambda\\3&4\lambda\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-3\\3&-4\end{vmatrix}}=\dfrac{\lambda(4+6)}{5}=2\lambda

Luego, para a=3, la solución del sistema es (x,y,z)=(-\lambda,2\lambda,\lambda).

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