Problema 695

Considerese la función real de variable real f(x)=x^3-3x.

a) Calcúlense \displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{f(x)}{1-x^3}\text{ y }\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{f(x)}x.
b) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.


Solución:

a) Calcular \displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{f(x)}{1-x^3}:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x^3-3x}{1-x^3}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{(-x)^3-3(-x)}{1-(-x)^3}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-x^3+3x}{1+x^3}=\dfrac{\infty}{\infty}=\\\\=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-x^3}{x^3}=\lim_{x\rightarrow+\infty}-1=-1

Recordamos que:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\dots+a_1x+a_0}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\dots+b_1x+b_0}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{a_mx^m}{b_nx^n}

siendo a_m,~b_n distintos de 0.

Calcular \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{f(x)}x:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{x^3-3x}x=\dfrac00=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{x(x^2-3)}x=\lim_{x\rightarrow0}x^2-3=0^2-3=-3


b) La función f es una función polinómica por lo que su dominio es \mathbb R.
Para estudiar la monotonía de f, comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(x)=3x^2-3=0~;\\3(x^2-1)=0~;\\x^2=1~;\\x=\pm1

Teniendo en cuenta el dominio y los puntos críticos de f, construimos la siguiente tabla de monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-1)&(-1,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

Luego,

  • f es creciente en (-\infty,-1)\cup(1,+\infty)
  • f es decreciente en (-1,1).

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