Problema 696

Se considera la función real de variable real:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac2{x+2}&\text{si}&x\leq0\\\\x+2&\text{si}&x>0\end{array}\right.$

a) Estúdiese la continuidad de f en $\mathbb R$ .
b) Calcúlese $\displaystyle \int_{-1}^0f(x)~dx$ .

Solución:

a) La función $y=\dfrac2{x+2}$ está definida en $\mathbb R$ excepto en x=-2 donde hay que estudiar la continuidad.

Continuidad en x=-2:
$\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-2^+}\dfrac2{x+2}=\dfrac2{0^+}=+\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-2^-}\dfrac2{x+2}=\dfrac2{0^-}=-\infty$
Por tanto, f no es continua en x=-2, donde presenta una discontinuidad de salto infinito.
Continuidad en x=0:
$\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}x+2=2\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac2{x+2}=\dfrac22=1\\\bullet~f(0)=\dfrac2{0+2}=1$
Por tanto, f tampoco es continua en x=0, donde presenta una discontinuidad de salto finito.

b) La función $y=\dfrac2{x+2}$ es continua e integrable en el intervalo (-1,0) y está definida en la función a trozos, luego:

$\displaystyle\int_{-1}^0\dfrac2{x+2}~dx=2\int_{-1}^0\dfrac1{x+2}~dx=2\cdot\big[\ln|x+2|\big]_{-1}^0=2\cdot\big[\ln|2|-\ln|1|\big]=2\ln(2)$

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