Problema 696

Se considera la función real de variable real:

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac2{x+2}&\text{si}&x\leq0\\\\x+2&\text{si}&x>0\end{array}\right.

a) Estúdiese la continuidad de f en \mathbb R.
b) Calcúlese \displaystyle \int_{-1}^0f(x)~dx.


Solución:

a) La función y=\dfrac2{x+2} está definida en \mathbb R excepto en x=-2 donde hay que estudiar la continuidad.

  • Continuidad en x=-2:
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-2^+}\dfrac2{x+2}=\dfrac2{0^+}=+\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-2^-}\dfrac2{x+2}=\dfrac2{0^-}=-\infty
    Por tanto, f no es continua en x=-2, donde presenta una discontinuidad de salto infinito.
  • Continuidad en x=0:
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}x+2=2\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac2{x+2}=\dfrac22=1\\\bullet~f(0)=\dfrac2{0+2}=1
    Por tanto, f tampoco es continua en x=0, donde presenta una discontinuidad de salto finito.

b) La función y=\dfrac2{x+2} es continua e integrable en el intervalo (-1,0) y está definida en la función a trozos, luego:

\displaystyle\int_{-1}^0\dfrac2{x+2}~dx=2\int_{-1}^0\dfrac1{x+2}~dx=2\cdot\big[\ln|x+2|\big]_{-1}^0=2\cdot\big[\ln|2|-\ln|1|\big]=2\ln(2)

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