Problema 698

El peso en toneladas (T) de los contenedores de un barco de carga se puede aproximar por una variable aleatoria normal de media μ y desviación típica σ = 3T. Se toma una muestra aleatoria simple de 484 contenedores.

a) Si la media de la muestra es \overline x =25.9T, obténgase un intervalo de confianza con un nivel del 90 % para μ .
a) Supóngase ahora que μ = 23T. Calcúlese la probabilidad de que puedan transportarse en un barco cuya capacidad máxima es de 11000T.


Solución:

a) La expresión del intervalo de confianza es:

(\overline x-E,\overline x+E)

siendo el error E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}, con n=484, σ=3 y z_{\alpha/2}=1.645 para un nivel de confianza del 90% (ver la tabla de probabilidades).
Luego:

E=1.645\cdot\dfrac3{\sqrt{484}}=0.224

El intervalo de confianza buscado es:

(25.9-0.224,25.9+0.224)=(25.67,26.12)


b) El barco admite un total de 484 contenedores con una media de 23T cada uno. La desviación típica de este resultado sigue siendo σ = 3T.
Una carga total de 11000T supone un peso medio por contenedor de \frac{11000}{484}=22.73T.
Nos piden la probabilidad de que el peso total sea inferior a 11000T que equivale a la probabilidad de que la media de los contenedores tenga un peso inferior a 22.73T.

P[x\leq22.73]

Tipificamos x:

z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}=\dfrac{22.73-23}{3}=-0.09

luego

P[x\leq22.73]=P[z\leq-0.09]=1-P[z\leq0.09]=1-0.5359=0.4641

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