Problema 699

Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:

\left\{\begin{array}{rl}x-2y-z&=-2\\-2x-az&=2\\y+az&=-2\end{array}\right.

a) Discútase en función de los valores del parámetro a.
b) Resuélvase para a=4.


Solución:

a) Escribimos el sistema en forma matricial MX=N:

\begin{pmatrix}1&-2&-1\\-2&0&-a\\0&1&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\2\\-2\end{pmatrix}

Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos calculando el rango de la matriz de coeficientes:

\begin{vmatrix}1&-2&-1\\-2&0&-a\\0&1&a\end{vmatrix}=2-4a+a=2-3a

determinante que se anula para a=\frac23.

  • Si a\neq\frac23, entonce el rango de M es 3, como el rango de la matriz ampliada (M|N) y el número de incógnitas n. En este caso el sistema es compatible determinado.
  • Si a=\frac23, entonces se tiene M=\begin{pmatrix}1&-2&-1\\-2&0&-\frac23\\0&1&\frac23\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-2\\-2&0\end{vmatrix}=-4\neq0. Veamos cuál es el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}1&-2&-2\\-2&0&2\\0&1&-2\end{vmatrix}=4+8-2=10\neq0
    Luego, el rango de la matriz ampliada es 3, y el sistema es incompatible.

b) Para a=4 el sistema es compatible determinado como vimos en el apartado a). Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}-2&-2&-1\\2&0&-4\\-2&1&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-2&-1\\-2&0&-4\\0&1&4\end{vmatrix}}=\dfrac{-16-2+16-8}{-10}=1

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&-2&-1\\-2&2&-4\\0&-2&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-2&-1\\-2&0&-4\\0&1&4\end{vmatrix}}=\dfrac{8-4-16-8}{-10}=2

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&-2&-2\\-2&0&2\\0&1&-2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-2&-1\\-2&0&-4\\0&1&4\end{vmatrix}}=\dfrac{4+8-2}{-10}=-1

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