Problema 700

Se considera la región del plano S definida por:

1\leq x\leq5~;~2\leq y\leq6~;~x-y\geq-4~;~3x-y\leq10

a) Represéntese gráficamente la región S y calcúlense las coordenadas de sus vértices.
b) Calcúlense los valores máximo y mínimo de la función f(x,y)=-200x+600y en la región S y obténganse los puntos de S donde se alcanza dichos valores.


Solución:

a) Escribimos las ecuaciones a partir de las ecuaciones y representamos las rectas en una misma gráfica:

\left\{\begin{array}{ll}1\leq x\leq5&\rightarrow x=1~,~x=5\\2\leq y\leq6&\rightarrow y=2~,~y=6\\x-y\geq-4&\rightarrow x-y=-4\\3x-y\leq10&\rightarrow3x-y=10\end{array}\right.

p700.png

La zona sombreada es S que es el lugar geométrico de los puntos que verifican todas las inecuaciones.
Los vértices de la región S los calculamos resolviendo los siguientes sistemas:

A\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=1\\x-y=-4\end{array}\right.\rightarrow A=(1,5)\\B\rightarrow\left\{\begin{array}{l}y=6\\x-y=-4\end{array}\right.\rightarrow B=(2,6)\\C\rightarrow\left\{\begin{array}{l}y=6\\x=5\end{array}\right.\rightarrow C=(5,6)\\D\rightarrow\left\{\begin{array}{l}3x-y=10\\x=5\end{array}\right.\rightarrow D=(5,5)\\E\rightarrow\left\{\begin{array}{l}3x-y=10\\y=2\end{array}\right.\rightarrow E=(4,2)\\F\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=1\\y=2\end{array}\right.\rightarrow F=(1,2)


b) Evaluamos la función f(x,y)=-200x+600y en cada uno de los vértices:

A\rightarrow f(1,5)=-200\cdot1+600\cdot5=2800\\B\rightarrow f(2,6)=3200\\C\rightarrow f(5,6)=2600\\D\rightarrow f(5,5)=2000\\E\rightarrow f(4,2)=400\\F\rightarrow f(1,2)=1000

El máximo se obtiene en el vértice B(2,6) cuyo valor es 3200. El mínimo se obtiene en el vértice E(4,2) con un valor de 400.

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