Problema 701

Se considera la función real de variable real:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}ax+1&\text{si}&x<-1\\x^2+x-2&\text{si}&x\geq-1\end{array}\right.$

a) Calcúlese el valor del parámetro real a para que f sea una función continua en todo su dominio.
b) Para a=2, calcúlense los puntos de corte de la gráfica de la función con los ejes cartesianos. Determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Solución:

a) La función a trozos está compuesta de dos funciones polinómicas cuyo dominio por separado es $\mathbb R$ . Solo queda estudiar la continuidad en x=-1:

$\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-1^+}x^2+x-2=-2\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-1^-}ax+1=-a+1\\\bullet~f(-1)=(-1)^2+(-1)-2=-2$

Para que f sea continua en x=-1 ha de ser:

$-2=-a+1~;\\a=3$

b) Para a=2 tenemos la función

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}2x+1&\text{si}&x<-1\\x^2+x-2&\text{si}&x\geq-1\end{array}\right.$

que no es continua en x=-1.
Calculamos los puntos de corte de f con los ejes coordenados.

Punto de corte con el eje x (y=0):
$\bullet~2x+1=0\rightarrow x=\dfrac{-1}2\\\bullet~x^2+x-2=0\rightarrow x=1,~x=-2$
El único resultado válido es x=1, luego, el punto de corte con el eje x es (1,0).
Punto de corte con el eje y (x=0):
$f(0)=0^2+0-2=-2$
Luego, f corta al eje y en el punto (0,-2).

Nos piden también estudiar la monotonía de f. Calculamos sus puntos críticos $(f'(x)=0)$ :

$f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}2&\text{si}&x<-1\\2x+1&\text{si}&x>-1\end{array}\right.$

$\bullet~2=0!!!\\\bullet~2x+1=0\rightarrow x=\dfrac{-1}2$

Con el único punto crítico válido obtenido, y teniendo en cuenta el dominio, construimos la siguiente tabla de monotonía:

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-1)&(-1,-\frac12)&(-\frac12,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}$