Problema 703

El tiempo, en horas, que tarda cierta compañía telefónica en hacer efectiva la portabilidad de un número de teléfono se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ y desviación típica σ = 24 horas. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 16. Calcúlese:

a) La probabilidad de que la media muestral del tiempo, \overline x, supere las 48 horas, si μ = 36 horas.
b) El nivel de confianza con el que se ha calculado el intervalo (24.24 , 47.76) para μ .


Solución:

a) Nos piden calcular la probabilidad P[x>48]. Tipificamos este dato:

z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}=\dfrac{48-36}{24}=0.5

Luego

P[x>48]=P[z>0.5]=1-P[z<0.5]\qquad(1)

Buscamos P[z<0.5] en la siguiente tabla:

P[z<0.5]=0.6915

Sustituyendo en (1):

P[x>48]=1-0.6915=0.3085


b) Dado el intervalo de confianza (a,b) siendo a=\overline x-E y b=\overline x+E, entonces tenemos

\bullet~\overline x=\dfrac{a+b}2\\\bullet~E=\dfrac{b-a}2

En nuestro caso, a=24.24 y b=47.76, luego, \overline x=36 y E=11.76.

Dado que el error es E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}, entonces:

z_{\alpha/2}=\dfrac{E\cdot\sqrt n}{\sigma}=\dfrac{11.76\cdot\sqrt{16}}{24}=1.96

Según la tabla de distribución normal, este valor de z_{\alpha/2} corresponde a una probabilidad de p=0.975, y dado que p=\dfrac{1+NC}2, entonces

NC=2p-1=2\cdot0.975-1=0.95

Es decir, el nivel de confianza es 95%.

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