Problema 704

Considérense las matrices:

A=\begin{pmatrix}1&-2\\-1&1\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}1&3\\2&-1\end{pmatrix}\qquad C=\begin{pmatrix}-1&0\\3&1\end{pmatrix}

a) Determínese la matriz C^{40}.
b) Calcúlese la matriz X que verifica XA+3B=C.


Solución:

a) Calculamos potencias sucesivas de C:

C^2=\begin{pmatrix}-1&0\\3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0\\3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I=C^0

Dado que C^2=I, solo hay dos resultados posibles para las potencias sucesivas de C. Para calcular C⁴⁰, hacemos la división entera, 40 entre 2, y nos quedamos con el resto, en nuestro caso el resto es 0, luego:

C^{40}=C^0=I


b) Despejamos X de la ecuación matricial:

XA+3B=C~;\\XA=C-3B~;\\X=(C-3B)A^{-1}

C-3B=\begin{pmatrix}-1&0\\3&1\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}1&3\\2&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4&-9\\-3&4\end{pmatrix}

Calculamos la matriz inversa de A con la fórmula:

\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj}A)^t}

|A|=\begin{vmatrix}1&-2\\-1&1\end{vmatrix}=1-2=-1

\text{Adj}A=\begin{pmatrix}1&1\\2&1\end{pmatrix}

A^{-1}=\dfrac1{-1}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\2&1\end{pmatrix}^t=\begin{pmatrix}-1&-2\\-1&-1\end{pmatrix}

Luego:

X=(C-3B)A^{-1}=\begin{pmatrix}-4&-9\\-3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&-2\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13&17\\-1&2\end{pmatrix}

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