Problema 705

Se considera la función real de variable real

f(x)=\dfrac{x^2-1}{3x-2}

a) Estúdiense sus asíntotas.
b) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.


Solución:

a) El denominador de f se anula en:

3x-2=0~;\\x=\dfrac23

Luego, el dominio de f es \mathbb R\setminus\{\frac23\}.

  • Asíntota vertical en x=\frac23:
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow\frac23^+}\dfrac{x^2-1}{3x-2}=\dfrac{\frac{-5}9}{0^+}=-\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow\frac23^-}\dfrac{x^2-1}{3x-2}=\dfrac{\frac{-5}9}{0^-}=+\infty
    Existe asíntota vertical cuya ecuación es x=\frac23.
  • Asíntota horizontal:
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2-1}{3x-2}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2}{3x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac x3=\infty
    f no tiene asíntota horizontal.
  • Asíntota oblicua (y=mx+n):
    \displaystyle\bullet~m=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2-1}{x(3x-2)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2-1}{3x^2-2x}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2}{3x^2}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac13=\dfrac13\\\bullet~n=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2-1}{3x-2}-\dfrac13\cdot x=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{3(x^2-1)-x(3x-2)}{3(3x-2)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{3x^2-3-3x^2+2x}{9x-6}=\\=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{-3+2x}{9x-6}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x}{9x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac29=\dfrac29
    La asíntota oblicua tiene ecuación y=\dfrac13\cdot x+\dfrac29.

b) Para estudiar la monotonía de f, comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(x)=\dfrac{2x(3x-2)-(x^2-1)3}{(3x-2)^2}=0~;\\6x^2-4x-3x^2+3=0~;\\3x^2-4x+3=0

ecuación de segundo grado que no tiene soluciones reales, luego, f no tiene puntos críticos.
Teniendo en cuenta el dominio de f, construimos la siguiente tabla de monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,\frac23)&(\frac23,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • f crece en (-\infty,\frac23)\cup(\frac23,+\infty).

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s