Se considera la función real de variable real 
a) Calcúlese el valor del parámetro real a para que la función f tenga un extremo relativo en x=2. Determínese si se trata de un máximo o un mínimo local.
b) Para a=-2, hállese el área del recinto acotado por la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas x=0 y x=2.
Solución:
a) Para que f tenga un extremo en x=2, ha de ser 
Para caracterizar este extremo utilizamos el test de la derivada segunda:
luego, según el test de la derivada segunda, este extremo corresponde a un mínimo.
b) Para a=-2, tenemos la función 
Luego, f presenta signo negativo en todos los puntos comprendidos entre x=0 y x=2.
El área buscada es:
![\displaystyle S=\int_0^2-f(x)~dx=\int_0^2-(x^2-2x)~dx=\int_0^2-x^2+2x~dx=\left[\dfrac{-x^3}3+x^2\right]_0^2=\\\\=\left(\dfrac{-2^3}3+2^2\right)-(0)=\dfrac{-8}3+4=\dfrac43\text{ u.a.}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S%3D%5Cint_0%5E2-f%28x%29%7Edx%3D%5Cint_0%5E2-%28x%5E2-2x%29%7Edx%3D%5Cint_0%5E2-x%5E2%2B2x%7Edx%3D%5Cleft%5B%5Cdfrac%7B-x%5E3%7D3%2Bx%5E2%5Cright%5D_0%5E2%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%28%5Cdfrac%7B-2%5E3%7D3%2B2%5E2%5Cright%29-%280%29%3D%5Cdfrac%7B-8%7D3%2B4%3D%5Cdfrac43%5Ctext%7B+u.a.%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "\displaystyle S=\int_0^2-f(x)~dx=\int_0^2-(x^2-2x)~dx=\int_0^2-x^2+2x~dx=\left[\dfrac{-x^3}3+x^2\right]_0^2=\\\\=\left(\dfrac{-2^3}3+2^2\right)-(0)=\dfrac{-8}3+4=\dfrac43\text{ u.a.}")
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