Problema 706

Se considera la función real de variable real f(x)=x^2+ax.

a) Calcúlese el valor del parámetro real a para que la función f tenga un extremo relativo en x=2. Determínese si se trata de un máximo o un mínimo local.
b) Para a=-2, hállese el área del recinto acotado por la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas x=0 y x=2.


Solución:

a) Para que f tenga un extremo en x=2, ha de ser f'(2)=0:

f'(x)=2x+a~;\\\\f'(2)=2\cdot2+a=4+a~;\\\\4+a=0~;\\a=-4

Para caracterizar este extremo utilizamos el test de la derivada segunda:

f''(x)=2~;\\\\f''(2)=2>0

luego, según el test de la derivada segunda, este extremo corresponde a un mínimo.


b) Para a=-2, tenemos la función f(x)=x^2-2x, que corresponde a una parábola convexa que corta al eje x en los puntos:

0=x^2-2x~;\\\\x(x-2)=0~;\\\\x=0,~x=2\rightarrow(0,0),~(2,0)

Luego, f presenta signo negativo en todos los puntos comprendidos entre x=0 y x=2.

El área buscada es:

\displaystyle S=\int_0^2-f(x)~dx=\int_0^2-(x^2-2x)~dx=\int_0^2-x^2+2x~dx=\left[\dfrac{-x^3}3+x^2\right]_0^2=\\\\=\left(\dfrac{-2^3}3+2^2\right)-(0)=\dfrac{-8}3+4=\dfrac43\text{ u.a.}

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