La probabilidad de que cierto río esté contaminado por nitratos es 0.6, por sulfatos es 0.4, y por ambos es 0.2. Calcúlese la probabilidad de que dicho río:
a) No esté contaminado por nitratos, si se sabe que está contaminado por sulfatos.
b) No esté contaminado ni por nitratos ni por sulfatos.
Solución:
Definimos como N al suceso “estar contaminado por nitratos” y S al suceso “estar contaminado por sulfatos”.
Según el enunciado, tenemos las siguientes probabilidades:
![\bullet~P[N]=0.6\\\bullet~P[S]=0.4\\\bullet~P[N\cap S]=0.2](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cbullet%7EP%5BN%5D%3D0.6%5C%5C%5Cbullet%7EP%5BS%5D%3D0.4%5C%5C%5Cbullet%7EP%5BN%5Ccap+S%5D%3D0.2&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\bullet~P[N]=0.6\\\bullet~P[S]=0.4\\\bullet~P[N\cap S]=0.2")
a) Nos piden la probabilidad ![P[\overline N/S]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5B%5Coverline+N%2FS%5D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "P[\overline N/S]")
Sabemos que:
![P[\overline N/S]=1-P[N/S]\qquad(1)](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5B%5Coverline+N%2FS%5D%3D1-P%5BN%2FS%5D%5Cqquad%281%29&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "P[\overline N/S]=1-P[N/S]\qquad(1)")
Por otro lado:
![P[N/S]=\dfrac{P[N\cap S]}{P[S]}=\dfrac{0.2}{0.4}=0.5](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BN%2FS%5D%3D%5Cdfrac%7BP%5BN%5Ccap+S%5D%7D%7BP%5BS%5D%7D%3D%5Cdfrac%7B0.2%7D%7B0.4%7D%3D0.5&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "P[N/S]=\dfrac{P[N\cap S]}{P[S]}=\dfrac{0.2}{0.4}=0.5")
Sustituyendo en (1):
![P[\overline N/S]=1-0.5=0.5](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5B%5Coverline+N%2FS%5D%3D1-0.5%3D0.5&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "P[\overline N/S]=1-0.5=0.5")
b) Nos piden la probabilidad ![P[\overline N\cap\overline S]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5B%5Coverline+N%5Ccap%5Coverline+S%5D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "P[\overline N\cap\overline S]")
Utilizando una de las leyes de Morgan:
![P[\overline N\cap\overline S]=P[\overline{N\cup S}]=1-P[N\cup S]=1-(P[N]+P[S]-P[N\cap S])=\\=1-(0.6+0.4-0.2)=1-0.8=0.2](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5B%5Coverline+N%5Ccap%5Coverline+S%5D%3DP%5B%5Coverline%7BN%5Ccup+S%7D%5D%3D1-P%5BN%5Ccup+S%5D%3D1-%28P%5BN%5D%2BP%5BS%5D-P%5BN%5Ccap+S%5D%29%3D%5C%5C%3D1-%280.6%2B0.4-0.2%29%3D1-0.8%3D0.2&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "P[\overline N\cap\overline S]=P[\overline{N\cup S}]=1-P[N\cup S]=1-(P[N]+P[S]-P[N\cap S])=\\=1-(0.6+0.4-0.2)=1-0.8=0.2")
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