Problema 708

La longitud auricular de la oreja en varones jóvenes, medida en centímetros (cm), se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ y desviación típica σ = 0.6 cm.

a) Una muestra aleatoria simple de 100 individuos proporcionó una media muestral \overline x=7 cm. Calcúlese un intervalo de confianza al 98 % para μ .
b) ¿Qué tamaño mínimo debe tener una muestra aleatoria simple para que el error  máximo cometido en la estimación de μ por la media muestral sea a lo sumo de 0.1 cm, con un nivel de confianza del 98 %?


Solución:

a) El intervalo de confianza tiene la forma:

(\overline x-E,\overline x+E)

Calculamos el error con la expresión:

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\qquad(1)

Utilizando la tabla de probabilidades de la distribución normal, tenemos que para un nivel de confianza del 98%, se tiene z_{\alpha/2}=2.327. Sabemos que n=100 y que σ=6. Luego:

E=2.327\cdot\dfrac6{\sqrt{100}}=1.396

El intervalo de confianza es:

(7-1.396,7+1.396)=(5.604,8.396) cm


b) A partir de la fórmula del error (1), tenemos la fórmula para el tamaño muestral n:

n=\left(z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E\right)^2

Dado que el nivel de confianza sigue siendo del 98%, tenemos z_{\alpha/2}=2.327, σ=6 y E=0.1, entonces:

n=\left(2.327\cdot\dfrac6{0.1}\right)^2=139.6

Luego, el tamaño de la muestra ha de ser de 140 jóvenes.

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