Se da el sistema de ecuaciones
dependiente del parámetro real a. Obtener razonadamente:
a) La solución del sistema cuando a=2.
b) Los valores del parámetro a para los que el sistema es compatible y determinado.
c) El valor del parámetro a para el que el sistema es compatible e indeterminado y obtener todas las soluciones del sistema para ese valor de a.
Solución:
a) Con a=2, el sistema es
En forma matricial :
Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M:
Luego, la matriz M tiene rango 3 y, según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible determinado.
Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:
b) Para que el sistema sea compatible determinado, según el teorema de Rouché-Fröbenius, ha de ser el rango de M igual a 3:
Determinante que se anula para a=-1. Luego, el sistema es compatible determinado para todo valor real a distinto de -1.
c) Según el teorema de Rouché-Fröbenius, para que el sistema sea compatible indeterminado ha de ser rg(M)=rg(M*)<n. Dado que n=3, entonces rg(M) ha de ser menor de 3, cosa que ocurre según vimos en el apartado b) si a=-1.
Para a=-1, tenemos el sistema :
Calculamos el rango de M:
Luego, el rango de M es 2. Calculamos el rango de M*:
Luego, el rango de M* es 2, y el sistema es compatible indeterminado.
El sistema a resolver es:
Hacemos la parametrización :
Multiplicamos por 2 la primera ecuación:
Sumando las dos ecuaciones se obtiene:
de donde .
Sustituyendo en la ecuación (1) se tiene:
Luego, para a=-1, la solución del sistema es:
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