Problema 709

Se da el sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{rl}-x+ay+2z&=a\\2x+ay-z&=2\\ax-y+2z&=a\end{array}\right.

dependiente del parámetro real a. Obtener razonadamente:

a) La solución del sistema cuando a=2.
b) Los valores del parámetro a para los que el sistema es compatible y determinado.
c) El valor del parámetro a para el que el sistema es compatible e indeterminado y obtener todas las soluciones del sistema para ese valor de a.


Solución:

a) Con a=2, el sistema es

\left\{\begin{array}{rl}-x+2y+2z&=2\\2x+2y-z&=2\\2x-y+2z&=2\end{array}\right.

En forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}-1&2&2\\2&2&-1\\2&-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M:

\begin{vmatrix}-1&2&2\\2&2&-1\\2&-1&2\end{vmatrix}=-4-4-4-8-8+1=-27

Luego, la matriz M tiene rango 3 y, según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible determinado.
Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}2&2&2\\2&2&-1\\2&-1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}-1&2&2\\2&2&-1\\2&-1&2\end{vmatrix}}=\dfrac{8-4-4-8-8-2}{-27}=\dfrac{-18}{-27}=\dfrac23

y=\dfrac{\begin{vmatrix}-1&2&2\\2&2&-1\\2&2&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}-1&2&2\\2&2&-1\\2&-1&2\end{vmatrix}}=\dfrac{-4-4+8-8-8-2}{-27}=\dfrac{-18}{-27}=\dfrac23

z=\dfrac{\begin{vmatrix}-1&2&2\\2&2&2\\2&-1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}-1&2&2\\2&2&-1\\2&-1&2\end{vmatrix}}=\dfrac{-4+8-4-8-8-2}{-27}=\dfrac{-18}{-27}=\dfrac23


b) Para que el sistema sea compatible determinado, según el teorema de Rouché-Fröbenius, ha de ser el rango de M igual a 3:

|M|=\begin{vmatrix}-1&a&2\\2&a&-1\\a&-1&2\end{vmatrix}=-2a-a^2-4-2a^2-4a+1=\\\\=-3a^2-6a-3=-3(a^2+2a+1)=-3(a+1)^2

Determinante que se anula para a=-1. Luego, el sistema es compatible determinado para todo valor real a distinto de -1.


c) Según el teorema de Rouché-Fröbenius, para que el sistema sea compatible indeterminado ha de ser rg(M)=rg(M*)<n. Dado que n=3, entonces rg(M) ha de ser menor de 3, cosa que ocurre según vimos en el apartado b) si a=-1.
Para a=-1, tenemos el sistema (MX=N):

\begin{pmatrix}-1&-1&2\\2&-1&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}

Calculamos el rango de M:

\begin{vmatrix}-1&-1\\2&-1\end{vmatrix}=1+2=3\neq0

Luego, el rango de M es 2. Calculamos el rango de M*:

\begin{vmatrix}-1&-1&-1\\2&-1&2\\-1&-1&-1\end{vmatrix}=0

Luego, el rango de M* es 2, y el sistema es compatible indeterminado.

El sistema a resolver es:

\left\{\begin{array}{rl}-x-y+2z&=-1\qquad(1)\\2x-y-z&=2\end{array}\right.

Hacemos la parametrización z=\lambda:

\left\{\begin{array}{rl}-x-y&=-1-2\lambda\\2x-y&=2+\lambda\end{array}\right.

Multiplicamos por 2 la primera ecuación:

\left\{\begin{array}{rl}-2x-2y&=-2-4\lambda\\2x-y&=2+\lambda\end{array}\right.

Sumando las dos ecuaciones se obtiene:

-3y=-3\lambda

de donde y=\lambda.
Sustituyendo en la ecuación (1) se tiene:

x=1+2\lambda-\lambda=1+\lambda

Luego, para a=-1, la solución del sistema es:

\left\{\begin{array}{l}x=1+\lambda\\y=\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.

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