Problema 710

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II,

Se dan el punto P=(1,1,1), la recta r:~\left\{\begin{array}{rl}x+y-z+1&=0\\x+2y-z-1&=0\end{array}\right. y el plano \pi:~x+y+z=1. Obtener razonadamente:

a) El plano que contiene al punto P y a la recta r.
b) La recta s que pasa por el punto P y es perpendicular al plano π, la distancia del punto P al plano π y el punto de intersección de la recta s con el plano π.
c) El plano σ que contiene a la recta r y es perpendicular al plano π.

Solución:

a) Pasamos la recta r de implícitas a paramétricas (ver cómo hacerlo aquí):

r:~\left\{\begin{array}{l}x=-3+\lambda\\y=2\\z=\lambda\end{array}\right.

Esta recta está formada por el punto P_r=(-3,2,0) y el vector director \vec v_r=(1,0,1).

El plano α que contiene al punto P y a la recta r es \alpha=\{P,\vec v_r,\overrightarrow{PP_r}\}:

\overrightarrow{PP_r}=(-3,2,0)-(1,1,1)=(-4,1,-1)

Luego, el plano α en forma vectorial es:

\boxed{\alpha:~(x,y,z)=(1,1,1)+\lambda(1,0,1)+\mu(-4,1,-1)}

b) Por ser la recta s perpendicular al plano π, entonces, el vector director de s es proporcional al vector normal de π, esto es, \vec v_s=\vec n_{\pi}=(1,1,1).
Sabiendo que s pasa por P, entonces ya tenemos s en forma vectorial:

\boxed{s:~(x,y,z)=(1,1,1)+\lambda(1,1,1)}

La distancia del punto P al plano π es (ver la fórmula 2 de la distancia aquí):

\boxed{d(P,\pi)=\dfrac{|1+1+1-1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\dfrac2{\sqrt3}\text{ u.l}}

Por último, para calcular el punto de intersección de la recta s con el plano π, comenzamos por sustituir las paramétricas de la recta en la implícita del plano:

-3+\lambda+2+\lambda=1

Resolvemos la ecuación:

2\lambda=1+3-2=2~;\\\lambda=1

Sustituyendo este valor en las paramétricas de la recta obtenemos el punto de intersección Q:

\boxed{Q=(-2,2,1)}

c) Escribimos la recta r en forma vectorial a partir de la forma paramétrica del apartado a):

r:~(x,y,z)=(-3,2,0)+\lambda(1,0,1)

Por contener a la recta r, el plano σ se forma con un punto de r, P_r=(-3,2,0), y su vector director \vec v_r=(1,0,1).
Por ser perpendicular al plano π, el segundo vector director de σ será el vector normal de π, \vec n_{\pi}=(1,1,1).
Tenemos ya el punto y los dos vectores directores de σ, y así la ecuación de dicho plano en forma vectorial:

\boxed{\sigma:~(x,y,z)=(-3,2,0)+\lambda(1,0,1)+\mu(1,1,1)}

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