Se dan el punto P=(1,1,1), la recta y el plano
. Obtener razonadamente:
a) El plano que contiene al punto P y a la recta r.
b) La recta s que pasa por el punto P y es perpendicular al plano π, la distancia del punto P al plano π y el punto de intersección de la recta s con el plano π.
c) El plano σ que contiene a la recta r y es perpendicular al plano π.
Solución:
a) Pasamos la recta r de implícitas a paramétricas (ver cómo hacerlo aquí):
Esta recta está formada por el punto y el vector director
.
El plano α que contiene al punto P y a la recta r es :
Luego, el plano α en forma vectorial es:
b) Por ser la recta s perpendicular al plano π, entonces, el vector director de s es proporcional al vector normal de π, esto es, .
Sabiendo que s pasa por P, entonces ya tenemos s en forma vectorial:
La distancia del punto P al plano π es (ver la fórmula 2 de la distancia aquí):
Por último, para calcular el punto de intersección de la recta s con el plano π, comenzamos por sustituir las paramétricas de la recta en la implícita del plano:
Resolvemos la ecuación:
Sustituyendo este valor en las paramétricas de la recta obtenemos el punto de intersección Q:
c) Escribimos la recta r en forma vectorial a partir de la forma paramétrica del apartado a):
Por contener a la recta r, el plano σ se forma con un punto de r, , y su vector director
.
Por ser perpendicular al plano π, el segundo vector director de σ será el vector normal de π, .
Tenemos ya el punto y los dos vectores directores de σ, y así la ecuación de dicho plano en forma vectorial:
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