Problema 711

Se desea unir un punto M situado en un lado de una calle, de 6 m de anchura, con el punto N situado en el otro lado de la calle, 18 m más abajo, mediante dos cables rectos, uno desde M hasta un punto P, situado al otro lado de la calle, y otro desde el punto P hasta el punto N. Se representó la calle en un sistema cartesiano y resultó que M = ( 0 , 6 ) , P = (x , 0 ) y N = ( 18 , 0 ) . El cable MP tiene que ser más grueso debido a que cruza la calle sin apoyos intermedios, siendo su precio de 10 €/m. El precio del cable PN es de 5 €/m.
Obtener razonadamente:

a) El costo total C de los dos cables en función de la abscisa x del punto P, cuando 0 ≤ x ≤ 18 .
b) El valor de x, con 0 ≤ x ≤ 18 , para el que el costo total C es mínimo.
c) El valor de dicho costo total mínimo.


Solución:

a) El siguiente esquema representa la situación planteada en el enunciado:

p711

El coste total de los cables es:

C=10\cdot\overline{MP}+5\cdot\overline{PN}

siendo \overline{MP} la distancia que hay entre los puntos M y P, y \overline{PN} la distancia que hay entre los puntos PN. (Ver la fórmula 4 de las distancias aquí):

\overline{MP}=\sqrt{(x-0)^2+(0-6)^2}=\sqrt{x^2+36}\\\overline{PN}=\sqrt{(0-0)^2+(18-x)^2}=18-x

siendo 0 ≤ x ≤ 18. Luego:

\boxed{C(x)=10\sqrt{x^2+36}+5(18-x)}


b) Para calcular el mínimo de una función, primero calculamos sus puntos críticos:

C'(x)=\dfrac{10(2x)}{2\sqrt{x^2+36}}-5=0~;\\\\5(2x)=5\sqrt{x^2+36}~;\text{ elevamos al cuadrado ambos miembros}\\\\(2x)^2=x^2+36~;\\\\3x^2=36~;\\\\x=\sqrt{12}

Veamos si este punto crítico corresponde a un mínimo estudiando la monotonía de C en las proximidades de x=\sqrt{12}:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,\sqrt{12})&(\sqrt{12},18)\\\hline\mbox{Signo }C'(x)&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }C(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

Observamos que en x=\sqrt{12}\approx3.46 m se tiene un mínimo.


c) En caso de que x=\sqrt{12}:

C(\sqrt{12})=10\sqrt{\sqrt{12}^2+36}+5(18-\sqrt{12})=10\sqrt{48}+90-5\sqrt{12}=\\\\=10\cdot2\sqrt{12}+90-5\sqrt{12}=15\sqrt{12}+90\approx142

el coste es de unos 142 €.

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