Problema 712

Obtener razonadamente:

a) La comprobación de que C^2=2C-I, siendo C=\begin{pmatrix}5&-4&2\\2&-1&1\\-4&4&-1\end{pmatrix} e I la matriz identidad de orden 3×3, y el cálculo de C⁴.
b) El valor del determinante de la matriz (3A^4)(4A^2)^{-1}, sabiendo que A es una matriz cuadrada de cuatro columnas cuyo determinante vale -1.
c) La matriz B que admite inversa y que verifica la igualdad BB=B.


Solución:

a) Comprobar que C^2=2C-I:

\bullet~C^2=\begin{pmatrix}5&-4&2\\2&-1&1\\-4&4&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&-4&2\\2&-1&1\\-4&4&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9&-8&4\\4&-3&2\\-8&8&-3\end{pmatrix}

\bullet~2C-I=2\cdot\begin{pmatrix}5&-4&2\\2&-1&1\\-4&4&-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\\=\begin{pmatrix}10&-8&4\\4&-2&2\\-8&8&-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9&-8&4\\4&-3&2\\-8&8&-3\end{pmatrix}

Luego, C^2=2C-I.
Calculamos ahora C⁴:

C^4=C^2\cdot C^2=\begin{pmatrix}9&-8&4\\4&-3&2\\-8&8&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}9&-8&4\\4&-3&2\\-8&8&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}17&-16&8\\8&-7&4\\-16&16&-7\end{pmatrix}


b) Para calcular el determinante utilizamos las propiedades de los determinantes:

|(3A^4)(4A^2)^{-1}|\underset{P.3}=|3A^4|\cdot|(4A^2)^{-1}|\underset{P.4}=|3A^4|\cdot\dfrac1{|4A^2|}\underset{P.6}=3^4|A^4|\cdot\dfrac1{4^4|A^2|}=\\\\\underset{P.3}=3^4|A|^4\cdot\dfrac1{4^4|A|^2}=\left(\dfrac34\right)^4|A|^2=\left(\dfrac34\right)^4(-1)^2=\left(\dfrac34\right)^4


c) La matriz B tal que BB=B donde B admite inversa:

BB=B~;\\B=BB^{-1}~;\\B=I

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