Problema 713

Sea T un tetraedro de vértices O = (0, 0, 0), A = (1, 1, 1), B = (3, 0, 0) y C = (0, 3, 0).
Obtener razonadamente:

a) La ecuación del plano π que contiene a los puntos A, B y C, y las ecuaciones de la recta $h_O$ perpendicular a π que pasa por O.
b) El punto de intersección de la altura $h_O$ y el plano π.
c) El área de la cara cuyos vértices son los puntos A, B y C, y el volumen del tetraedro T.

Solución:

a) El plano π que contiene a los puntos A, B y C es:

$\pi=\{A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\}$

$\overrightarrow{AB}=(3,0,0)-(1,1,1)=(2,-1,-1)\\\overrightarrow{AC}=(0,3,0)-(1,1,1)=(-1,2,-1)$

Luego, el plano π en forma vectorial es:

$\pi:~(x,y,z)=(1,1,1)+\lambda(2,-1,-1)+\mu(-1,2,-1)$

y en forma implícita:

$\begin{vmatrix}x-1&y-1&z-1\\2&-1&-1\\-1&2&-1\end{vmatrix}=(x-1)+(y-1)+4(z-1)-(z-1)+2(y-1)+2(x-1)=\\\\=3(x-1)+3(y-1)+3(z-1)=3x+3y+3z-9=0\\\\\boxed{\pi:~x+y+z-3=0}$

Las recta $h_O$ es perpendicular al plano π, luego, su vector director es proporcional al vector normal de π: $\vec v_h=\vec n_\pi=(1,1,1)$ .
Junto con el punto O, ya tenemos los elementos necesarios para construir la recta $h_O$ : $h_O=\{O=(0,0,0),\vec v_h=(1,1,1)\}$ .
Las ecuaciones paramétricas de la recta $h_O$ son:

$\boxed{h_O:~\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.}$

b) Para calcular el punto de intersección Q de una recta con un plano, comenzamos sustituyendo las paramétricas de la recta en la implícita del plano:

$\lambda+\lambda+\lambda-3=0~;\\3\lambda=3~;\\\lambda=1$

Sustituimos este valor de λ en las paramétricas de la recta y así obtenemos el punto buscado:

$\boxed{Q=(1,1,1)}$

c) Los puntos A, B y C, forman un triángulo cuya área S es:

$S=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|}2$

Comenzamos calculando el producto vectorial de $\overrightarrow{AB}\text{ y }\overrightarrow{AC}$ :

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\2&-1&-1\\-1&2&-1\end{vmatrix}=\vec\imath(1+2)+\vec\jmath(1+2)+\vec k(4-1)=\\\\=3\vec\imath+3\vec\jmath+3\vec k=(3,3,3)$