Sea T un tetraedro de vértices O = (0, 0, 0), A = (1, 1, 1), B = (3, 0, 0) y C = (0, 3, 0).
Obtener razonadamente:
a) La ecuación del plano π que contiene a los puntos A, B y C, y las ecuaciones de la recta perpendicular a π que pasa por O.
b) El punto de intersección de la altura y el plano π.
c) El área de la cara cuyos vértices son los puntos A, B y C, y el volumen del tetraedro T.
Solución:
a) El plano π que contiene a los puntos A, B y C es:
Luego, el plano π en forma vectorial es:
y en forma implícita:
Las recta es perpendicular al plano π, luego, su vector director es proporcional al vector normal de π:
.
Junto con el punto O, ya tenemos los elementos necesarios para construir la recta :
.
Las ecuaciones paramétricas de la recta son:
b) Para calcular el punto de intersección Q de una recta con un plano, comenzamos sustituyendo las paramétricas de la recta en la implícita del plano:
Sustituimos este valor de λ en las paramétricas de la recta y así obtenemos el punto buscado:
c) Los puntos A, B y C, forman un triángulo cuya área S es:
Comenzamos calculando el producto vectorial de :
cuyo módulo es:
Luego, el área S es:
El tetraedro T tiene por volumen V:
Calculamos el producto mixto de los tres vectores:
Luego, el volumen del tetraedro es:
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