Problema 713

Sea T un tetraedro de vértices O = (0, 0, 0), A = (1, 1, 1), B = (3, 0, 0) y C = (0, 3, 0).
Obtener razonadamente:

a) La ecuación del plano π que contiene a los puntos A, B y C, y las ecuaciones de la recta h_O perpendicular a π que pasa por O.
b) El punto de intersección de la altura h_O y el plano π.
c) El área de la cara cuyos vértices son los puntos A, B y C, y el volumen del tetraedro T.


Solución:

a) El plano π que contiene a los puntos A, B y C es:

\pi=\{A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\}

\overrightarrow{AB}=(3,0,0)-(1,1,1)=(2,-1,-1)\\\overrightarrow{AC}=(0,3,0)-(1,1,1)=(-1,2,-1)

Luego, el plano π en forma vectorial es:

\pi:~(x,y,z)=(1,1,1)+\lambda(2,-1,-1)+\mu(-1,2,-1)

y en forma implícita:

\begin{vmatrix}x-1&y-1&z-1\\2&-1&-1\\-1&2&-1\end{vmatrix}=(x-1)+(y-1)+4(z-1)-(z-1)+2(y-1)+2(x-1)=\\\\=3(x-1)+3(y-1)+3(z-1)=3x+3y+3z-9=0\\\\\boxed{\pi:~x+y+z-3=0}

Las recta h_O es perpendicular al plano π, luego, su vector director es proporcional al vector normal de π: \vec v_h=\vec n_\pi=(1,1,1).
Junto con el punto O, ya tenemos los elementos necesarios para construir la recta h_O: h_O=\{O=(0,0,0),\vec v_h=(1,1,1)\}.
Las ecuaciones paramétricas de la recta h_O son:

\boxed{h_O:~\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.}


b) Para calcular el punto de intersección Q de una recta con un plano, comenzamos sustituyendo las paramétricas de la recta en la implícita del plano:

\lambda+\lambda+\lambda-3=0~;\\3\lambda=3~;\\\lambda=1

Sustituimos este valor de λ en las paramétricas de la recta y así obtenemos el punto buscado:

\boxed{Q=(1,1,1)}


c) Los puntos A, B y C, forman un triángulo cuya área S es:

triángulo

S=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|}2

Comenzamos calculando el producto vectorial de \overrightarrow{AB}\text{ y }\overrightarrow{AC}:

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\2&-1&-1\\-1&2&-1\end{vmatrix}=\vec\imath(1+2)+\vec\jmath(1+2)+\vec k(4-1)=\\\\=3\vec\imath+3\vec\jmath+3\vec k=(3,3,3)

cuyo módulo es:

|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\sqrt{3^2+3^2+3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt3

Luego, el área S es:

\boxed{S=\dfrac{3\sqrt3}2\approx2.6\text{ u.a.}}

El tetraedro T tiene por volumen V:

p713V=\dfrac{|[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}]|}6

Calculamos el producto mixto de los tres vectores:

\overrightarrow{OA}=(1,1,1)\\\overrightarrow{OB}=(3,0,0)\\\overrightarrow{OC}=(0,3,0)

[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}]=\begin{vmatrix}1&1&1\\3&0&0\\0&3&0\end{vmatrix}=9

Luego, el volumen del tetraedro es:

\boxed{V=\dfrac96=1.5\text{ u.v.}}

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