Problema 714

Dada la función f definida por f(x)=\dfrac{x^2+1}x, para cualquier valor real x\neq0, se pide, obtener razonadamente:

a) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f, y los extremos relativos de la función f.
b) Las asíntotas de la curva y=f(x).
c) El área de la región plana limitada por la curva y=\dfrac{x^2+1}x,~1\leq x\leq e, el segmento que une los puntos (1,0) y (e,0), y las rectas x=1 y x=e.


Solución:

a) Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(x)=\dfrac{2x\cdot x-(x^2+1)}{x^2}=\dfrac{x^2-1}{x^2}=0~;\\\\x^2-1=0~;\\x=\pm1

Teniendo en cuenta el dominio y los puntos críticos, construimos la siguiente tabla de monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-1)&(-1,0)&(0,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • Crece en x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)
  • Decrece en x\in(-1,0)\cup(0,1)

Hay un máximo relativo en el punto (-1,f(-1))=(-1,-2), y un mínimo relativo en (1,f(1))=(1,2).


b) Comenzamos calculando si existe asíntota vertical en x=0:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{x^2+1}x=\dfrac1{0^+}=+\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{x^2+1}x=\dfrac1{0^-}=-\infty

Luego, f presenta una asíntota vertical de ecuación x=0.

  • Asíntota horizontal:
    \displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2+1}x=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2}x=\lim_{x\rightarrow\infty}x=\infty
    Por lo que f no tiene asíntota horizontal.
  • Asíntota oblicua (y=mx+n):
    \displaystyle\bullet~m=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2+1}{x^2}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2}{x^2}=\lim_{x\rightarrow\infty}1=1\\\bullet~n=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2+1}x-x=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2+1-x^2}x=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac1x=0
    La función f tiene una asíntota oblicua de ecuación y=x.

c) El segmento que une los puntos (1,0) y (e,0) está sobre el eje x, luego, nos piden el área comprendida entre la función y el eje x, entre los valores x=1 y x=e.
Teniendo en cuenta que f es una función estrictamente positiva para x>0, el área S buscada es:

\displaystyle S=\int_1^e\dfrac{x^2+1}x~dx

Se trata de una integral racional. Como el numerador es un polinomio de grado superior al denominador, comenzamos escribiendo la fracción en la forma:

\boxed{\dfrac{Numerador}{Denominador}=Cociente+\dfrac{Resto}{Denominador}}

En nuestro caso:

\dfrac{x^2+1}x=x+\dfrac1x

Luego el área S es:

\displaystyle S=\int_1^e\dfrac{x^2+1}x~dx=\int_1^ex+\dfrac1x~dx=\left[\dfrac{x^2}2+\ln|x|\right]_1^e=\\\\=\left(\dfrac{e^2}2+\ln|e|\right)-\left(\dfrac12+\ln|1|\right)=\dfrac{e^2}2+1-\dfrac12=\dfrac{e^2+1}2\text{ u.a.}

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