Dada la función f definida por 
a) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f, y los extremos relativos de la función f.
b) Las asíntotas de la curva 
c) El área de la región plana limitada por la curva 
Solución:
a) Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos:
Teniendo en cuenta el dominio y los puntos críticos, construimos la siguiente tabla de monotonía:
- Crece en
- Decrece en
Hay un máximo relativo en el punto 
b) Comenzamos calculando si existe asíntota vertical en x=0:
Luego, f presenta una asíntota vertical de ecuación x=0.
- Asíntota horizontal:
Por lo que f no tiene asíntota horizontal. - Asíntota oblicua
:
La función f tiene una asíntota oblicua de ecuación.
c) El segmento que une los puntos (1,0) y (e,0) está sobre el eje x, luego, nos piden el área comprendida entre la función y el eje x, entre los valores x=1 y x=e.
Teniendo en cuenta que f es una función estrictamente positiva para x>0, el área S buscada es:
Se trata de una integral racional. Como el numerador es un polinomio de grado superior al denominador, comenzamos escribiendo la fracción en la forma:
En nuestro caso:
Luego el área S es:
![\displaystyle S=\int_1^e\dfrac{x^2+1}x~dx=\int_1^ex+\dfrac1x~dx=\left[\dfrac{x^2}2+\ln|x|\right]_1^e=\\\\=\left(\dfrac{e^2}2+\ln|e|\right)-\left(\dfrac12+\ln|1|\right)=\dfrac{e^2}2+1-\dfrac12=\dfrac{e^2+1}2\text{ u.a.}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S%3D%5Cint_1%5Ee%5Cdfrac%7Bx%5E2%2B1%7Dx%7Edx%3D%5Cint_1%5Eex%2B%5Cdfrac1x%7Edx%3D%5Cleft%5B%5Cdfrac%7Bx%5E2%7D2%2B%5Cln%7Cx%7C%5Cright%5D_1%5Ee%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%28%5Cdfrac%7Be%5E2%7D2%2B%5Cln%7Ce%7C%5Cright%29-%5Cleft%28%5Cdfrac12%2B%5Cln%7C1%7C%5Cright%29%3D%5Cdfrac%7Be%5E2%7D2%2B1-%5Cdfrac12%3D%5Cdfrac%7Be%5E2%2B1%7D2%5Ctext%7B+u.a.%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle S=\int_1^e\dfrac{x^2+1}x~dx=\int_1^ex+\dfrac1x~dx=\left[\dfrac{x^2}2+\ln|x|\right]_1^e=\\\\=\left(\dfrac{e^2}2+\ln|e|\right)-\left(\dfrac12+\ln|1|\right)=\dfrac{e^2}2+1-\dfrac12=\dfrac{e^2+1}2\text{ u.a.}")
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