Dada la función f definida por , para cualquier valor real
, se pide, obtener razonadamente:
a) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f, y los extremos relativos de la función f.
b) Las asíntotas de la curva .
c) El área de la región plana limitada por la curva , el segmento que une los puntos (1,0) y (e,0), y las rectas x=1 y x=e.
Solución:
a) Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos:
Teniendo en cuenta el dominio y los puntos críticos, construimos la siguiente tabla de monotonía:
- Crece en
- Decrece en
Hay un máximo relativo en el punto , y un mínimo relativo en
.
b) Comenzamos calculando si existe asíntota vertical en x=0:
Luego, f presenta una asíntota vertical de ecuación x=0.
- Asíntota horizontal:
Por lo que f no tiene asíntota horizontal. - Asíntota oblicua
:
La función f tiene una asíntota oblicua de ecuación.
c) El segmento que une los puntos (1,0) y (e,0) está sobre el eje x, luego, nos piden el área comprendida entre la función y el eje x, entre los valores x=1 y x=e.
Teniendo en cuenta que f es una función estrictamente positiva para x>0, el área S buscada es:
Se trata de una integral racional. Como el numerador es un polinomio de grado superior al denominador, comenzamos escribiendo la fracción en la forma:
En nuestro caso:
Luego el área S es:
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