Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 tales que y
, siendo
la matriz identidad. Obtener razonadamente:
a) La justificación de que la matriz A es invertible y el cálculo de la matriz A³ en función de A y de I.
b) Los valores posibles del determinante de B.
c) El valor del determinante de la matriz B², sabiendo que la matriz B tiene inversa.
Solución:
a) Para que una matriz sea invertible, es condición necesaria y suficiente que su determinante sea distinto de 0.
Dado que , entonces
Sabemos que , luego
, y según las propiedad 3 de los determinantes,
luego, , por lo que A es invertible. Además, hemos visto que
.
b) Dado que , entonces:
Sabiendo que , entonces sabemos que
. Aplicamos las propiedades de los determinantes:
c) Hemos visto en el apartado b) que
luego, .
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