Problema 715

📖Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat IIÁlgebra, matrices y determinantes, Matriz inversadurán

Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 tales que $A^2=-A-I$ y $2B^3=B$ , siendo $I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ la matriz identidad. Obtener razonadamente:

a) La justificación de que la matriz A es invertible y el cálculo de la matriz A³ en función de A y de I.
b) Los valores posibles del determinante de B.
c) El valor del determinante de la matriz B², sabiendo que la matriz B tiene inversa.

Solución:

a) Para que una matriz sea invertible, es condición necesaria y suficiente que su determinante sea distinto de 0.
Dado que $A^2=-A-I$ , entonces

$I=-A^2-A~;\\I=A(-A-I)~;\\I=A\cdot A^2=A^3$

Sabemos que $|I|=1$ , luego $|A^3|=1$ , y según las propiedad 3 de los determinantes,

$|A^3|=|A|^3=1$

luego, $|A|=1$ , por lo que A es invertible. Además, hemos visto que $A^3=I$ .

b) Dado que $2B^3=B$ , entonces:

$2B^3B^{-1}=I~;\\2B^2I=I~;\\2B^2=I$

Sabiendo que $|I|=1$ , entonces sabemos que $|2B^2|=1$ . Aplicamos las propiedades de los determinantes:

$|2B^2|=1~;\\\\2^3|B^2|=1~;\text{propiedad 6}\\\\8|B|^2=1~;\text{propiedad 3}\\\\|B|^2=\dfrac18~;\\\\|B|=\pm\sqrt{\dfrac18}=\pm\dfrac{\sqrt2}4$

c) Hemos visto en el apartado b) que

$2^3|B^2|=1$

luego, $|B^2|=\dfrac18$ .

♦

Responder Cancelar respuesta

Introduce aquí tu comentario...

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Correo electrónico (obligatorio) (La dirección no se hará pública)

Nombre (obligatorio)

Web

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. ( Cerrar sesión / Cambiar )

Estás comentando usando tu cuenta de Google. ( Cerrar sesión / Cambiar )

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. ( Cerrar sesión / Cambiar )

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. ( Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s