Problema 715

Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 tales que A^2=-A-I y 2B^3=B, siendo I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} la matriz identidad. Obtener razonadamente:

a) La justificación de que la matriz A es invertible y el cálculo de la matriz A³ en función de A y de I.
b) Los valores posibles del determinante de B.
c) El valor del determinante de la matriz B², sabiendo que la matriz B tiene inversa.


Solución:

a) Para que una matriz sea invertible, es condición necesaria y suficiente que su determinante sea distinto de 0.
Dado que A^2=-A-I, entonces

I=-A^2-A~;\\I=A(-A-I)~;\\I=A\cdot A^2=A^3

Sabemos que |I|=1, luego |A^3|=1, y según las propiedad 3 de los determinantes,

|A^3|=|A|^3=1

luego, |A|=1, por lo que A es invertible. Además, hemos visto que A^3=I.


b) Dado que 2B^3=B, entonces:

2B^3B^{-1}=I~;\\2B^2I=I~;\\2B^2=I

Sabiendo que |I|=1, entonces sabemos que |2B^2|=1. Aplicamos las propiedades de los determinantes:

|2B^2|=1~;\\\\2^3|B^2|=1~;\text{propiedad 6}\\\\8|B|^2=1~;\text{propiedad 3}\\\\|B|^2=\dfrac18~;\\\\|B|=\pm\sqrt{\dfrac18}=\pm\dfrac{\sqrt2}4


c) Hemos visto en el apartado b) que

2^3|B^2|=1

luego, |B^2|=\dfrac18.

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