Problema 716

Se dan la recta r:~\left\{\begin{array}{rl}x-2y-2z&=1\\x+3y-z&=1\end{array}\right. y el plano \pi:~2x+y+mz=n. Obtener razonadamente:

a) Los valores de m y n para los que la recta r y el plano π se cortan en un punto.
b) Los valores de m y n para los que la recta r y el plano π no se cortan.
c) Los valores de m y n para los que la recta r está contenida en el plano π.


Solución:

Escribimos la recta r de implícitas a paramétricas como se explica aquí. Haciendo la parametrización z=5\lambda, la recta r en paramétricas resulta:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=1+8\lambda\\y=-\lambda\\z=5\lambda\end{array}\right.

Para calcular la posición relativa de una recta y un plano, sustituimos las paramétricas de la recta en la implícita del plano:

2\cdot(1+8\lambda)+(-\lambda)+m\cdot(5\lambda)=n

Simplificamos la ecuación:

2+16\lambda-\lambda+5m\lambda=n~;\\\\(15+5m)\lambda=n-2\qquad(1)

a) La recta r y el plano π se cortan en un punto si la ecuación (1) tiene una única solución. Para ello ha de ser 15+5m\neq0, es decir, m\neq-3.


b) La recta r y el plano π no se cortan si la ecuación (1) no tiene solución. Para ello ha de ser 15+5m=0 y n-2\neq0, es decir, m=-3 y n\neq2.


c) La recta r está contenida en el plano π si la ecuación (1) tiene infinitas soluciones. Para ello ha de ser 15+5m=0 y n-2=0, es decir, m=-3 y n=2.

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