Se dan la recta y el plano . Obtener razonadamente:

a) Los valores de m y n para los que la recta r y el plano π se cortan en un punto.
b) Los valores de m y n para los que la recta r y el plano π no se cortan.
c) Los valores de m y n para los que la recta r está contenida en el plano π.

Solución:

Escribimos la recta r de implícitas a paramétricas como se explica aquí. Haciendo la parametrización , la recta r en paramétricas resulta:

Para calcular la posición relativa de una recta y un plano, sustituimos las paramétricas de la recta en la implícita del plano:

Simplificamos la ecuación:

a) La recta r y el plano π se cortan en un punto si la ecuación (1) tiene una única solución. Para ello ha de ser , es decir, .

b) La recta r y el plano π no se cortan si la ecuación (1) no tiene solución. Para ello ha de ser y , es decir, y .

c) La recta r está contenida en el plano π si la ecuación (1) tiene infinitas soluciones. Para ello ha de ser y , es decir, y .

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