Problema 717

Se consideran las curvas $y=x^3,~y=ax$ y la función $f(x)=x^3-ax$ , siendo a un parámetro real y a>0. Obtener razonadamente:

a) Los puntos de corte de la curva $y=f(x)$ con los ejes de coordenadas y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f.
b) La gráfica de la función f cuando a=9.
c) Calcular, en función del parámetro a, el área de la región acotada del primer cuadrante encerrada entre las curvas $y=x^3\text{ e }y=ax$ , cuando a>1.
d) El valor del parámetro a para el que el área obtenida en el apartado c) coincide con el área de la región acotada comprendida entre la cura $y=x^3$ , el eje OX y las rectas x=0 y x=2.

Solución:

a) Los puntos de corte de una función f con los ejes de coordenadas esta descrito aquí.

Punto de corte de f con el eje x (y=0):
$0=x^3-ax~;\\0=x(x^2-a)$
Ecuación cuyas soluciones son $x=0\text{ y }x=\pm\sqrt a$ . Luego, los puntos de corte con el eje x son $(0,0),~(\sqrt a,0),~(-\sqrt a,0)$ .
Punto de corte de f con el eje y (x=0):
$y=0^3-a\cdot0=0$
Luego, el punto de corte con el eje y es el punto (0,0).

Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos:

$f'(x)=3x^2-a=0~;\\x^2=\dfrac a3~;\\x=\pm\sqrt{\dfrac a3}$

Una vez calculados los puntos críticos y teniendo en cuenta el dominio de f $(\mathbb R)$ , construimos la siguiente tabla de monotonía:

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-\sqrt{\frac a3})&(-\sqrt{\frac a3},\sqrt{\frac a3})&(\sqrt{\frac a3},+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}$

Nota: en el intervalo $(-\infty,-\sqrt{\frac a3})$ podemos tomar el valor $x=-\sqrt{\frac{2a}3}$ , y en el intervalo $(\sqrt{\frac a3},+\infty)$ el valor $x=\sqrt{\frac{2a}3}$ .

Luego:

f crece en $x\in(-\infty,-\sqrt{\frac a3})\cup(\sqrt{\frac a3},+\infty)$
f decrece en $x\in(-\sqrt{\frac a3},\sqrt{\frac a3})$

b) Para a=9, la función f corta a los ejes en los puntos (0,0), (3,0) y (-3,0). En cuanto a la monotonía:

f crece en $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$ .
f decrece en (-1,1).

Sabemos que $f(x)=x^3-9x$ es una función polinómica que no tiene asíntotas.
Por la monotonía observamos que f tiene un máximo local en $(-\sqrt{\frac93},f(-\sqrt{\frac93}))=(-\sqrt3,6\sqrt3)$ y un mínimo local en $(\sqrt{\frac93},f(\sqrt{\frac93}))=(\sqrt3,-6\sqrt3)$ .
A partir de los datos anteriores, podemos esbozar la gráfica de f que es semejante a la siguiente figura:

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c) Calculamos dónde ambas curvas $y=x^3\text{ e }y=ax$ se cortan:

$x^3=ax~;\\x^3-ax=0~;\\x(x^2-a)=0~;\\x=0,~x=\pm\sqrt a$

El área S encerrada por las curvas anteriores en el primer cuadrante es:

$\displaystyle S=\left|\int_0^{\sqrt a}x^3-ax~dx\right|=\left|\left[\dfrac{x^4}4-\dfrac{ax^2}2\right]_0^{\sqrt a}\right|=\\\\=\left|\left(\dfrac{\sqrt a^4}4-\dfrac{a\sqrt a^2}2\right)-(0)\right|=\left|\dfrac{a^2}4-\dfrac{a^2}2\right|=\left|\dfrac{a^2-2a^2}4\right|=\dfrac{a^2}4$