Problema 717

Se consideran las curvas y=x^3,~y=ax y la función f(x)=x^3-ax, siendo a un parámetro real y a>0. Obtener razonadamente:

a) Los puntos de corte de la curva y=f(x) con los ejes de coordenadas y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f.
b) La gráfica de la función f cuando a=9.
c) Calcular, en función del parámetro a, el área de la región acotada del primer cuadrante encerrada entre las curvas y=x^3\text{ e }y=ax, cuando a>1.
d) El valor del parámetro a para el que el área obtenida en el apartado c) coincide con el área de la región acotada comprendida entre la cura y=x^3, el eje OX y las rectas x=0 y x=2.


Solución:

a) Los puntos de corte de una función f con los ejes de coordenadas esta descrito aquí.

  • Punto de corte de f con el eje x (y=0):
    0=x^3-ax~;\\0=x(x^2-a)
    Ecuación cuyas soluciones son x=0\text{ y }x=\pm\sqrt a. Luego, los puntos de corte con el eje x son (0,0),~(\sqrt a,0),~(-\sqrt a,0).
  • Punto de corte de f con el eje y (x=0):
    y=0^3-a\cdot0=0
    Luego, el punto de corte con el eje y es el punto (0,0).

Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(x)=3x^2-a=0~;\\x^2=\dfrac a3~;\\x=\pm\sqrt{\dfrac a3}

Una vez calculados los puntos críticos y teniendo en cuenta el dominio de f (\mathbb R), construimos la siguiente tabla de monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-\sqrt{\frac a3})&(-\sqrt{\frac a3},\sqrt{\frac a3})&(\sqrt{\frac a3},+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

Nota: en el intervalo (-\infty,-\sqrt{\frac a3}) podemos tomar el valor x=-\sqrt{\frac{2a}3}, y en el intervalo (\sqrt{\frac a3},+\infty) el valor x=\sqrt{\frac{2a}3}.

Luego:

  • f crece en x\in(-\infty,-\sqrt{\frac a3})\cup(\sqrt{\frac a3},+\infty)
  • f decrece en x\in(-\sqrt{\frac a3},\sqrt{\frac a3})

b) Para a=9, la función f corta a los ejes en los puntos (0,0), (3,0) y (-3,0). En cuanto a la monotonía:

  • f crece en (-\infty,-1)\cup(1,+\infty).
  • f decrece en (-1,1).

Sabemos que f(x)=x^3-9x es una función polinómica que no tiene asíntotas.
Por la monotonía observamos que f tiene un máximo local en (-\sqrt{\frac93},f(-\sqrt{\frac93}))=(-\sqrt3,6\sqrt3) y un mínimo local en (\sqrt{\frac93},f(\sqrt{\frac93}))=(\sqrt3,-6\sqrt3).
A partir de los datos anteriores, podemos esbozar la gráfica de f que es semejante a la siguiente figura:

p717


c) Calculamos dónde ambas curvas y=x^3\text{ e }y=ax se cortan:

x^3=ax~;\\x^3-ax=0~;\\x(x^2-a)=0~;\\x=0,~x=\pm\sqrt a

El área S encerrada por las curvas anteriores en el primer cuadrante es:

\displaystyle S=\left|\int_0^{\sqrt a}x^3-ax~dx\right|=\left|\left[\dfrac{x^4}4-\dfrac{ax^2}2\right]_0^{\sqrt a}\right|=\\\\=\left|\left(\dfrac{\sqrt a^4}4-\dfrac{a\sqrt a^2}2\right)-(0)\right|=\left|\dfrac{a^2}4-\dfrac{a^2}2\right|=\left|\dfrac{a^2-2a^2}4\right|=\dfrac{a^2}4


d) Sabiendo que la función y=x^3 es positiva para x>0, y que solo corta a los ejes en el punto (0,0), entonces el área de la región acotada es:

\displaystyle A=\int_0^2x^3~dx=\left[\dfrac{x^4}4\right]_0^2=\dfrac{2^4}4-0=4\text{ u.a.}

Igualamos el área A al área S,

\dfrac{a^2}4=4~;\\a^2=16~;\\a=\pm4

En el apartado c) solo se admite a>1, luego a=4.

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