Se consideran las curvas y la función
, siendo a un parámetro real y a>0. Obtener razonadamente:
a) Los puntos de corte de la curva con los ejes de coordenadas y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f.
b) La gráfica de la función f cuando a=9.
c) Calcular, en función del parámetro a, el área de la región acotada del primer cuadrante encerrada entre las curvas , cuando a>1.
d) El valor del parámetro a para el que el área obtenida en el apartado c) coincide con el área de la región acotada comprendida entre la cura , el eje OX y las rectas x=0 y x=2.
Solución:
a) Los puntos de corte de una función f con los ejes de coordenadas esta descrito aquí.
- Punto de corte de f con el eje x (y=0):
Ecuación cuyas soluciones son. Luego, los puntos de corte con el eje x son
.
- Punto de corte de f con el eje y (x=0):
Luego, el punto de corte con el eje y es el punto (0,0).
Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos:
Una vez calculados los puntos críticos y teniendo en cuenta el dominio de f , construimos la siguiente tabla de monotonía:
Nota: en el intervalo podemos tomar el valor
, y en el intervalo
el valor
.
Luego:
- f crece en
- f decrece en
b) Para a=9, la función f corta a los ejes en los puntos (0,0), (3,0) y (-3,0). En cuanto a la monotonía:
- f crece en
.
- f decrece en (-1,1).
Sabemos que es una función polinómica que no tiene asíntotas.
Por la monotonía observamos que f tiene un máximo local en y un mínimo local en
.
A partir de los datos anteriores, podemos esbozar la gráfica de f que es semejante a la siguiente figura:
c) Calculamos dónde ambas curvas se cortan:
El área S encerrada por las curvas anteriores en el primer cuadrante es:
d) Sabiendo que la función es positiva para x>0, y que solo corta a los ejes en el punto (0,0), entonces el área de la región acotada es:
Igualamos el área A al área S,
En el apartado c) solo se admite a>1, luego a=4.
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