Se consideran las curvas 
a) Los puntos de corte de la curva 
b) La gráfica de la función f cuando a=9.
c) Calcular, en función del parámetro a, el área de la región acotada del primer cuadrante encerrada entre las curvas 
d) El valor del parámetro a para el que el área obtenida en el apartado c) coincide con el área de la región acotada comprendida entre la cura 
Solución:
a) Los puntos de corte de una función f con los ejes de coordenadas esta descrito aquí.
- Punto de corte de f con el eje x (y=0):
Ecuación cuyas soluciones son. Luego, los puntos de corte con el eje x son
.
- Punto de corte de f con el eje y (x=0):
Luego, el punto de corte con el eje y es el punto (0,0).
Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos:
Una vez calculados los puntos críticos y teniendo en cuenta el dominio de f 
Nota: en el intervalo 
Luego:
- f crece en
- f decrece en
b) Para a=9, la función f corta a los ejes en los puntos (0,0), (3,0) y (-3,0). En cuanto a la monotonía:
- f crece en
.
- f decrece en (-1,1).
Sabemos que 
Por la monotonía observamos que f tiene un máximo local en 
A partir de los datos anteriores, podemos esbozar la gráfica de f que es semejante a la siguiente figura:
c) Calculamos dónde ambas curvas
El área S encerrada por las curvas anteriores en el primer cuadrante es:
![\displaystyle S=\left|\int_0^{\sqrt a}x^3-ax~dx\right|=\left|\left[\dfrac{x^4}4-\dfrac{ax^2}2\right]_0^{\sqrt a}\right|=\\\\=\left|\left(\dfrac{\sqrt a^4}4-\dfrac{a\sqrt a^2}2\right)-(0)\right|=\left|\dfrac{a^2}4-\dfrac{a^2}2\right|=\left|\dfrac{a^2-2a^2}4\right|=\dfrac{a^2}4](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S%3D%5Cleft%7C%5Cint_0%5E%7B%5Csqrt+a%7Dx%5E3-ax%7Edx%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%5Cleft%5B%5Cdfrac%7Bx%5E4%7D4-%5Cdfrac%7Bax%5E2%7D2%5Cright%5D_0%5E%7B%5Csqrt+a%7D%5Cright%7C%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%7C%5Cleft%28%5Cdfrac%7B%5Csqrt+a%5E4%7D4-%5Cdfrac%7Ba%5Csqrt+a%5E2%7D2%5Cright%29-%280%29%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%5Cdfrac%7Ba%5E2%7D4-%5Cdfrac%7Ba%5E2%7D2%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%5Cdfrac%7Ba%5E2-2a%5E2%7D4%5Cright%7C%3D%5Cdfrac%7Ba%5E2%7D4&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle S=\left|\int_0^{\sqrt a}x^3-ax~dx\right|=\left|\left[\dfrac{x^4}4-\dfrac{ax^2}2\right]_0^{\sqrt a}\right|=\\\\=\left|\left(\dfrac{\sqrt a^4}4-\dfrac{a\sqrt a^2}2\right)-(0)\right|=\left|\dfrac{a^2}4-\dfrac{a^2}2\right|=\left|\dfrac{a^2-2a^2}4\right|=\dfrac{a^2}4")
d) Sabiendo que la función
![\displaystyle A=\int_0^2x^3~dx=\left[\dfrac{x^4}4\right]_0^2=\dfrac{2^4}4-0=4\text{ u.a.}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+A%3D%5Cint_0%5E2x%5E3%7Edx%3D%5Cleft%5B%5Cdfrac%7Bx%5E4%7D4%5Cright%5D_0%5E2%3D%5Cdfrac%7B2%5E4%7D4-0%3D4%5Ctext%7B+u.a.%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle A=\int_0^2x^3~dx=\left[\dfrac{x^4}4\right]_0^2=\dfrac{2^4}4-0=4\text{ u.a.}")
Igualamos el área A al área S,
En el apartado c) solo se admite a>1, luego a=4.
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