Se consideran las matrices e
.
Obtener razonadamente:
a) La justificación de que A tiene matriz inversa y el cálculo de dicha inversa .
b) La justificación de que .
c) El cálculo de las matrices .
Solución:
a) Una matriz A tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de 0.
Luego A tiene inversa.
Para calcular la matriz inversa de A utilizamos la fórmula:
Luego:
b) Comenzamos calculando A²:
c) Dado que A⁴=I=A⁰, entonces las potencias enésimas de A se obtiene dividiendo el exponente entre 4. Dicha potencia enésima es igual a la potencia de A elevado al resto de la división.
La potencia A⁷ se obtiene dividiendo 7 entre 4 quedando resto 3, luego
La potencia A³⁰ se obtiene dividiendo 30 entre 4 quedando resto 2, luego
La potencia A¹⁰⁰ se obtiene dividiendo 100 entre 4 quedando resto 0, luego
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