Problema 718

Se consideran las matrices $A=\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}$ e $I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ .
Obtener razonadamente:

a) La justificación de que A tiene matriz inversa y el cálculo de dicha inversa $A^{-1}$ .
b) La justificación de que $A^4=I$ .
c) El cálculo de las matrices $A^7,~A^{30}\text{ y }A^{100}$ .

Solución:

a) Una matriz A tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de 0.

$|A|=\begin{vmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{vmatrix}=1\neq0$

Luego A tiene inversa.
Para calcular la matriz inversa de A utilizamos la fórmula:

$\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj}A)^t}$

$\text{Adj}A=\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}$

Luego:

$A^{-1}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}$

b) Comenzamos calculando A²:

$A^2=\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$

$A^4=A^2A^2=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=I\text{ c.q.d}$

c) Dado que A⁴=I=A⁰, entonces las potencias enésimas de A se obtiene dividiendo el exponente entre 4. Dicha potencia enésima es igual a la potencia de A elevado al resto de la división.
La potencia A⁷ se obtiene dividiendo 7 entre 4 quedando resto 3, luego

$A^7=A^3=A^4A^{-1}=IA^{-1}=A^{-1}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}$