Problema 718

Se consideran las matrices A=\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix} e I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.
Obtener razonadamente:

a) La justificación de que A tiene matriz inversa y el cálculo de dicha inversa A^{-1}.
b) La justificación de que A^4=I.
c) El cálculo de las matrices A^7,~A^{30}\text{ y }A^{100}.


Solución:

a) Una matriz A tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de 0.

|A|=\begin{vmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{vmatrix}=1\neq0

Luego A tiene inversa.
Para calcular la matriz inversa de A utilizamos la fórmula:

\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj}A)^t}

\text{Adj}A=\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}

Luego:

A^{-1}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}


b) Comenzamos calculando A²:

A^2=\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}

A^4=A^2A^2=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=I\text{ c.q.d}


c) Dado que A⁴=I=A⁰, entonces las potencias enésimas de A se obtiene dividiendo el exponente entre 4. Dicha potencia enésima es igual a la potencia de A elevado al resto de la división.
La potencia A⁷ se obtiene dividiendo 7 entre 4 quedando resto 3, luego

A^7=A^3=A^4A^{-1}=IA^{-1}=A^{-1}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}

La potencia A³⁰ se obtiene dividiendo 30 entre 4 quedando resto 2, luego

A^{30}=A^2=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}

La potencia A¹⁰⁰ se obtiene dividiendo 100 entre 4 quedando resto 0, luego

A^{100}=A^0=I

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