Problema 719

Se dan la recta r:~\dfrac{x-1}4=\dfrac ya=\dfrac{z-1}{-1} y el plano \pi:~2x-y+bz=0, siendo a y b dos parámetros reales.
Obtener razonadamente:

a) El punto de intersección de la recta r y el plano π cuando a=-b=1.
b) La distancia entre la recta r y el plano π cuando a=b=4.
c) La posición relativa de la recta r y del plano π en función de los valores de los parámetros a y b.


Solución:

a) Cuando a=-b=1, tenemos la recta r:~\dfrac{x-1}4=\dfrac y1=\dfrac{z-1}{-1} y el plano \pi:~2x-y-z=0.
Escribimos la ecuación de la recta r en paramétricas:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=1+4\lambda\\y=\lambda\\z=1-\lambda\end{array}\right.

Para calcular el punto de intersección Q de r y π, sustituimos las paramétricas de r en la implícita de π:

2(1+4\lambda)-\lambda-(1-\lambda)=0~;\\2+8\lambda-\lambda-1+\lambda=0~;\\8\lambda=-1~;\\\lambda=\dfrac{-1}8

Sustituimos este valor de λ en las paramétricas de r para obtener Q:

Q=(\frac12,\frac{-1}8,\frac98)


b) Cuando a=b=4, tenemos la recta r:~\dfrac{x-1}4=\dfrac y4=\dfrac{z-1}{-1} y el plano \pi:~2x-y+4z=0.
Escribimos la recta r en paramétricas:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=1+4\lambda\\y=4\lambda\\z=1-\lambda\end{array}\right.

Para que exista distancia entre una recta y un plano, estos deben ser paralelos. Para que r y π sean paralelos, ha de ser el vector director de r, \vec v_r=(4,4,-1), perpendicular al vector normal de π, \vec n_{\pi}=(2,-1,4). Lo comprobamos utilizando la condición de perpendicularidad de vectores en el espacio:

\vec v_r\cdot\vec n_{\pi}=4\cdot2+4\cdot(-1)+(-1)\cdot4=8-4-4=0

Por tanto, r y π son paralelos.
La distancia de r a π coincide con la distancia de un punto cualquiera de r, P_r=(1,0,1), al plano π como se explica aquí en el apartado 3:

d(r,\pi)=d(P_r,\pi)=\dfrac{|2\cdot1-0+4\cdot1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+4^2}}=\dfrac{|2+4|}{\sqrt{4+1+16}}=\dfrac6{21}\text{ u.l.}


c) Dada la recta r:~\dfrac{x-1}4=\dfrac ya=\dfrac{z-1}{-1} y el plano \pi:~2x-y+bz=0, para estudiar las posiciones relativas de ambas variedades lineales, comenzamos escribiendo la recta en forma paramétrica:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=1+4\lambda\\y=a\lambda\\z=1-\lambda\end{array}\right.

Sustituimos las paramétricas de la recta en la implícita del plano:

2\cdot(1+4\lambda)-a\lambda+b(1-\lambda)=0~;\\2+8\lambda-a\lambda+b-b\lambda=0~;\\(8-a-b)\lambda=-2-b\qquad(1)

  • r y π se cortan en un punto si la ecuación (1) tiene solución única, para lo cual
    8-a-b\neq0
  • r y π son paralelos si la ecuación (1) no tiene solución, para lo cual
    \left\{\begin{array}{l}8-a-b=0\\-2-b\neq0\end{array}\right.
  • r está contenido en π si la ecuación (1) tiene infinitas soluciones, para lo cual
    \left\{\begin{array}{l}8-a-b=0\\-2-b=0\end{array}\right.
    de donde (a,b)=(10,-2).

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