Problema 720

Se considera el triángulo T de vértices O=(0,0), A=(x,y) y B=(0,y), siendo x > 0 ,
y > 0 , y tal que la suma de las longitudes de los lados OA y AB es 30 metros.
Obtener razonadamente:

a) El área del triángulo T en función de x.
b) El valor de x para el que dicha área es máxima.
c) El valor de dicha área máxima.


Solución:

Sea el triángulo

p720

a) Sabemos que el lado OA mide:

\sqrt{x^2+y^2}

y que el lado AB mide

x

La suma de estos dos lados es 30, luego

\sqrt{x^2+y^2}+x=30\qquad(1)

El área S de un triángulo rectángulo como éste es la mitad del producto de los catetos, es decir:

S=\dfrac{x\cdot y}2\qquad(2)

Despejamos y en la ecuación (1):

\sqrt{x^2+y^2}=30-x~;\\\\x^2+y^2=(30-x)^2~;\\\\y^2=(30-x)^2-x^2~;\\\\y^2=900-60x+x^2-x^2~;\\\\y=\sqrt{900-60x}

Sustituyendo en la ecuación (2) tenemos el área del triángulo en función de x:

S(x)=\dfrac{x\sqrt{900-60x}}2=x\sqrt{225-15x}

Observar que para que el radicando sea positivo, ha de ser x<15.


b) Para obtener el máximo de la función área S(x), comenzamos calculando sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):

S'(x)=\sqrt{225-15x}+x\cdot\dfrac{-15}{2\sqrt{225-15x}}=\dfrac{2(225-15x)-15x}{2\sqrt{225-15x}}=\\\\=\dfrac{450-45x}{2\sqrt{225-15x}}=0

Resolvemos la ecuación:

\dfrac{450-45x}{2\sqrt{225-15x}}=0~;\\\\450-45x=0~;\\\\450=45x~;\\\\x=10

Luego, el único punto critico de la función área está en x=10. Caractericemos dicho punto crítico estudiando la monotonía de S en un entorno de x=10:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,10)&(10,15)\\\hline\mbox{Signo }S'(x)&+&-\\\hline \mbox{Monotonia }S(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

A la vista de la tabla de monotonía, observamos que en x=10, la función S presenta un máximo.


c) Dado que S(x)=x\sqrt{225-15x}, el valor del máximo área es:

S(10)=10\sqrt{225-15\cdot10}=10\sqrt{75}=50\sqrt3\approx86.6\text{ u.a.}

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