Problema 721

Dadas las matrices A=\begin{pmatrix}1&3&4&1\\1&a&2&2-a\\-1&2&a&a-2\end{pmatrix} y M=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}, se pide:

a) Estudiar el rango de A en función del parámetro real a.
b) Calcular, si es posible, la inversa de la matriz AM para el caso a=0.


Solución:

a) Podemos calcular el rango de A utilizando determinantes o por transformaciones de Gauss. Aquí lo haremos de la segunda forma:

\begin{pmatrix}1&3&4&1\\1&a&2&2-a\\-1&2&a&a-2\end{pmatrix}\rightarrow\left\{\begin{array}{c}F_2\leftarrow F_2-F_1\\F_3\leftarrow F_3+F_1\end{array}\right\}\rightarrow\begin{pmatrix}1&3&4&1\\0&a-3&-2&1-a\\0&5&a+4&a-1\end{pmatrix}

Si intercambiamos filas, el rango de una matriz no cambia:

\begin{pmatrix}1&3&4&1\\0&5&a+4&a-1\\0&a-3&-2&1-a\end{pmatrix}\rightarrow\Big\{F_3\leftarrow5F_3-(a-3)F_2\Big\}\rightarrow\begin{pmatrix}1&3&4&1\\0&5&a+4&a-1\\0&0&-a^2-a+2&-a^2-a+2\end{pmatrix}

La matriz transformada es triangular, y su rango será 3 siempre que -a^2-a+2\neq0.
El polinomio -a^2-a+2 tiene por raíces a=-2, a=1, luego,

  • Si a≠-2 y a≠1, en el rango de A es 3.
  • Si a=-2 o a=1, el rango de A es 2 ya que su matriz transformada es de la forma:
    \begin{pmatrix}1&3&4&1\\0&5&a+4&a-1\\0&0&0&0\end{pmatrix}

b) Para el caso a=0 tenemos que:

AM=\begin{pmatrix}1&3&4&1\\1&0&2&2\\-1&2&0&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3&1\\1&0&2\\-1&2&-2\end{pmatrix}

cuyo determinante es:

|AM|=\begin{vmatrix}1&3&1\\1&0&2\\-1&2&-2\end{vmatrix}=-6+2+6-4=-2

Luego, la matriz AM sí tiene inversa.
Para calcular su inversa utilizamos la fórmula:

\boxed{(AM)^{-1}=\dfrac1{|AM|}\cdot\text{Adj}(AM)^t}

\text{Adj}(AM)=\begin{pmatrix}-4&0&2\\8&-1&-5\\6&-1&-3\end{pmatrix}

(AM)^{-1}=\dfrac1{-2}\cdot\begin{pmatrix}-4&0&2\\8&-1&-5\\6&-1&-3\end{pmatrix}^t=\begin{pmatrix}2&-4&-3\\0&\frac12&\frac12\\-1&\frac52&\frac32\end{pmatrix}

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