Problema 722

Dada f(x)=\dfrac{\ln(x)}x, donde ln denota el logaritmo neperiano, definida para x>0, se pide:

a) Calcular, en caso de que exista, una asíntota horizontal de la curva y=f(x).
b) Encontrar un punto de la curva y=f(x) en el que la recta tangente a dicha curva sea horizontal y analizar si dicho punto es un extremo relativo.
c) Calcular el área del recinto acotado limitado por la curva y=f(x) y las rectas y=0 y x=e.


Solución:

a) Esta función es continua en x>0. Calculamos su asíntota horizontal:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x)}x=\dfrac{\infty}{\infty}\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\frac1x}1=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac1x=\dfrac1{+\infty}=0^+

donde L’H significa la aplicación de la regla de L’Hopital para resolver la intedeterminación ∞/∞. (Recordar la tabla de derivadas.)
Existe asíntota horizontal para f y su ecuación es y=0.


b) Si la recta tangente es horizontal es porque su pendiente vale 0.
Como la pendiente de la recta tangente a una función en el punto de tangencia, x=x_0, es igual al valor de la derivada de la función en dicho punto:

\boxed{m_{rt}=f'(x_0)}

entonces tenemos que 0=f'(x_0). Calculamos x_0:

f'(x)=\dfrac{\frac1xx-\ln(x)}{x^2}=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}~;\\\\f'(x_0)=\dfrac{1-\ln(x_0)}{x_0^2}=0~;\\1-\ln(x_0)=0~;\\\ln(x_0)=1~;\\x_0=e

La solución es única, es decir, solo hay un punto en f cuya recta tangente tenga pendiente nula. Conocemos la coordenada x del punto buscado. Calculamos ahora la coordenada y:

y=f(e)=\dfrac{\ln(e)}e=\dfrac1e

Luego el punto es (e,\frac1e).

Nos piden determinar si f presenta un extremo relativo en x=e, para ello, estudiaremos la monotonía en un entorno de dicho punto crítico.

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,e)&(e,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

Es decir, que en el punto (e,\frac1e), la función f presenta un extremo relativo, un máximo en concreto.


c) Calculamos donde la función f se corta con y=0:

\dfrac{\ln(x)}x=0~;\\\ln(x)=0~;\\x=e^0=1

Como f es creciente en el intervalo (1,e), como vimos en el apartado b), entonces f es positiva en el intervalo (1,e). El área S de la región buscada es:

\displaystyle S=\int_1^e\dfrac{\ln(x)}x~dx=\int_1^e\ln(x)\cdot\dfrac1x~dx

Esta integral es inmediata de tipo potencial (ver tabla de integrales):

S=\left[\dfrac{\ln^2(x)}2\right]_1^e=\left(\dfrac12\right)-0=\dfrac12\text{ u.a.}

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