Problema 723

Dadas la recta r\equiv~\dfrac{x-1}2=\dfrac{y-3}{-2}=z y la recta s que pasa por el punto (2,-5,1) y tiene dirección (-1,0,-1), se pide:

a) Estudiar la posición relativa de las dos rectas.
b) Calcular un plano que sea paralelo a r y contenga a s.
c) Calcular un plano perpendicular a la recta r y que pase por el origen de coordenadas.


Solución:

a) Escribimos un punto y el vector director de cada recta:

r:~\left\{\begin{array}{l}P_r=(1,3,0)\\\vec v_r=(2,-2,1)\end{array}\right.\qquad s:~\left\{\begin{array}{l}P_s=(2,-5,1)\\\vec v_s=(-1,0,-1)\end{array}\right.

Estudiamos la posición relativa de las dos rectas según se explica aquí.
Primero calculamos el rango de \begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\end{pmatrix}:

\text{rg}\begin{pmatrix}2&-2&1\\-1&0&-1\end{pmatrix}=2

ya que \begin{vmatrix}2&-2\\-1&0\end{vmatrix}=-2\neq0.

Calculamos ahora el rango de \begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_rP_s}\end{pmatrix}, siendo

\overrightarrow{P_rP_s}=(2,-5,1)-(1,3,0)=(1,-8,1)

\begin{vmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_rP_s}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&-2&1\\-1&0&-1\\1&-8&1\end{vmatrix}=2+8-2-16\neq

Luego, el rango de \begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_rP_s}\end{pmatrix} es 3, por lo que las dos rectas se cruzan sin cortarse.


b) Para construir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores.
Por contener a la recta s, nuestro plano α tendrá un punto de s y su vector director, \{P_s,\vec v_s\}.
Por ser paralelo a la recta r, nuestro plano α tendrá su vector director, \{\vec v_r\}.

En definitiva, α está formado por \{P_s,\vec v_s,\vec v_r\} por lo que la ecuación vectorial de α es:

\alpha:~(x,y,z)=(2,-5,1)+\lambda(-1,0,-1)+\mu(2,-2,1)

y en forma implícita:

\begin{vmatrix}x-2&y+5&z-1\\-1&0&-1\\2&-2&1\end{vmatrix}=-2(x-2)-(y+5)+2(z-1)=-2x-y+2z-3\\\\\boxed{\alpha:~-2x-y+2z-3=0}


c) Otra forma de construir un plano es a partir de un punto y su vector normal.
Nos piden un plano β que sea perpendicular a r. Por ello, el vector normal de β es proporcional al vector director de r, es decir, \vec n_{\beta}=\vec v_r=(2,-2,1).
A partir del vector normal del plano, \vec n_{\beta}, ya tenemos los tres primeros coeficientes de la ecuación implícita de β:

\beta:~2x-2y+z+D=0

Nos queda calcular el último coeficiente D. Utilizamos para ello el dato del punto por el que pasa el plano β, en nuestro caso, el plano ha de pasar por el origen O=(0,0,0).
Sustituimos en la ecuación implícita de β y resolvemos:

2\cdot0-2\cdot0+0+D=0~;\\\\D=0

Por tanto:

\boxed{\beta:~2x-2y+z=0}

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