Problema 724

La probabilidad de que un pez de una determinada especie sobreviva más de 5 años es del 10 %. Se pide:

a) Si en un acuario tenemos 10 peces de esta especie nacidos este año, hallar la probabilidad de que al menos dos de ellos sigan vivos dentro de 5 años.
b) Si en un tanque de una piscifactoría hay 200 peces de esta especie nacidos este mismo año, usando una aproximación mediante la distribución normal correspondiente, hallar la probabilidad de que al cabo de 5 años hayan sobrevivido al menos 10 de ellos.


Solución:

Este es un problema de distribución binomial B(n,p), donde la probabilidad de tener k éxitos al realizar una experiencia n veces es:

\displaystyle\boxed{P[x=k]={n\choose k}\cdot p^k\cdot q^{n-k}}

a) En nuestro caso tenemos una distribución binomial B(10,0.1). Sabemos que p=0.1, de donde q=1-p=0.9.
Nos piden la probabilidad P[x\geq2]:

P[x\geq2]=1-P[x<2]=1-(P[x=0]+P[x=1])

\displaystyle P[x=0]={10\choose0}\cdot p^0\cdot q^{10-0}=1\cdot0.1^0\cdot0.9^{10}=0.3487\\\\P[x=1]={10\choose1}\cdot p^1\cdot q^{10-1}=10\cdot0.1^1\cdot0.9^9=0.3874

Luego

P[x\geq2]=1-(P[x=0]+P[x=1])=1-(0.3487+0.3874)=0.2639

es la probabilidad de que al menos 2 peces sigan vivos dentro de 5 años.


b) Hacemos la aproximación de la binomial a la normal B(n,p)\rightarrow N(np,\sqrt{npq}), donde n=200, p=0.1.
Nos piden la probabilidad P[x\geq10]. Primero tipificamos x teniendo en cuenta la corrección por continuidad:

\boxed{z=\dfrac{(x-0.5)-\mu}{\sigma}}

En nuestro caso

\bullet~\mu=np=200\cdot0.1=20\\\bullet~\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{200\cdot0.1\cdot0.9}=4.24

Para x=10 tenemos z=\dfrac{(10-0.5)-20}{4.24}=-2.48, luego

P[x\geq10]=P[z\geq-2.48]=P[z<2.48]=0.9934

resultado buscado en la tabla de distribución normal.

Por tanto, la probabilidad de que en una población de 200 peces de esta piscifactoría, hayan sobrevivido más de 10 peces al cabo de 5 años es 0.9934.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s