Problema 725

Una estudiante pidió en la cafetería 3 bocadillos, 2 refrescos y 2 bolsas de patatas y pagó un total de 19 euros. Al mirar la cuenta comprobó que le habían cobrado un bocadillo y una bolsa de patatas de más. Reclamó y le devolvieron 4 euros.
Para compensar el error, el vendedor le ofreció llevarse un bocadillo y un refresco por solo 3 euros, lo que suponía un descuento del 40 % respecto a sus precios originales. ¿Cuáles eran los respectivos precios sin descuento de un bocadillo, de un refresco y de una bolsa de patatas?


Solución:

Sea x el precio de un bocadillo, sea y el precio de un refresco y sea z el precio de una bolsa de patatas.
La estudiante hizo una compra por un valor de 19€, lo cuál debería haber incluido 4 bocadillos, 2 refrescos y 3 bolsas de patatas:

4x+2y+3z=19

Reclamó y le devolvieron 4 euros por la compra de los 3 bocadillos, 2 refrescos y 2 bolsas de patatas:

3x+2y+2z=15

Por último, la estudiante fue compensada con un 40% de descuento en el precio de un bocadillo y un refresco, pagando el 60% que supuso 3 euros en total:

0.6(x+y)=3\longrightarrow x+y=5

Resolvemos el sistema formado por las tres ecuaciones:

\left\{\begin{array}{ll}4x+2y+3z&=19\\3x+2y+2z&=15\\x+y&=5\end{array}\right.

en forma matricial

\begin{pmatrix}4&2&3\\3&2&2\\1&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19\\15\\5\end{pmatrix}

Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}19&2&3\\15&2&2\\5&1&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}4&2&3\\3&2&2\\1&1&0\end{vmatrix}}=\dfrac{20+45-30-38}{4+9-6-8}=\dfrac{-3}{-1}=3

y=\dfrac{\begin{vmatrix}4&19&3\\3&15&2\\1&5&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}4&2&3\\3&2&2\\1&1&0\end{vmatrix}}=\dfrac{38+45-45-40}{-1}=\dfrac{-2}{-1}=2

z=\dfrac{\begin{vmatrix}4&2&19\\3&2&15\\1&1&5\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}4&2&3\\3&2&2\\1&1&0\end{vmatrix}}=\dfrac{40+30+57-38-30-60}{-1}=\dfrac{-1}{-1}=1

El precio del bocadillo es de 3 euros, el del refresco 2 euros y el de la bolsa de patatas 1 euro.

Más problemas de sistemas de ecuaciones.

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