Problema 726

Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat II, , ,

Dada la función f(x)=\sqrt{4x^2-x^4}, se pide:

a) Determinar su dominio.
b) Determinar sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
c) Calcular los límites laterales \displaystyle\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{f(x)}x,~\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{f(x)}x.

Solución:

a) El dominio de una función irracional de índice par es el conjunto de todos los números reales tales que el radicando es mayor o igual que 0.

4x^2-x^4=0~;\\\\x^2(4-x^2)=0~;\\\\x=0,~x=\pm2

Estudiamos el signo del radicando por intervalos en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-2)&(-2,0)&(0,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }(4x^2-x^4)&-&+&+&-\\\hline\end{array}

Luego, el dominio de f es x\in[-2,2].

b) Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos (consultar la tabla de derivadas):

f'(x)=\dfrac{8x-4x^3}{2\sqrt{4x^2-x^4}}=\dfrac{4x-2x^3}{\sqrt{4x^2-x^4}}=0~;\\\\4x-2x^3=0~;\\\\2x(2-x^2)=0~;\\\\x=0,~x=\pm\sqrt2

Teniendo en cuenta el dominio y los puntos críticos, construimos la siguiente tabla de monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&(-2,-\sqrt2)&(-\sqrt2,0)&(0,\sqrt2)&(\sqrt2,2)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+&-\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

  • f crece en (-2,-\sqrt2)\cup(0,\sqrt2).
  • f decrece en (-\sqrt2,0)\cup(\sqrt2,2).

c) Calcular los límites:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{\sqrt{4x^2-x^4}}x=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\sqrt{4(-x)^2-(-x)^4}}{-x}=\lim_{x\rightarrow0^+}-\dfrac{\sqrt{4x^2-x^4}}x=\\\\=-\lim_{x\rightarrow0^+}\sqrt{\dfrac{4x^2-x^4}{x^2}}=-\lim_{x\rightarrow0^+}\sqrt{4-x^2}=-\sqrt4=-2\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\sqrt{4x^2-x^4}}x=\lim_{x\rightarrow0^+}\sqrt{\dfrac{4x^2-x^4}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow0^+}\sqrt{4-x^2}=\sqrt4=2

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