Problema 727

Dados el punto A(2,1,0) y el plano \pi\equiv~2x+3y+4z=36, se pide:

a) Determinar la distancia del punto A al plano π.
b) Hallar las coordenadas del punto del plano π más próximo al punto A.
c) Hallar el punto simétrico de A respecto al plano π.


Solución:

a) Utilizamos la fórmula 2 que podemos ver aquí:

d(A,\pi)=\dfrac{|2\cdot2+3\cdot1+4\cdot0-36|}{\sqrt{2^2+3^2+4^2}}=\dfrac{|-29|}{\sqrt{29}}=\sqrt{29}\text{ u.l.}


b) Calculamos una recta r perpendicular a π que pase por A.
Por ser perpendicular a π, el vector director de r es proporcional al vector normal de π:

\boxed{r\perp\pi\leftrightarrow\vec v_r\parallel\vec n_{\pi}}

Luego, podemos escribir \vec v_r=\vec n_{\pi}=(2,3,4). Sabiendo que r pasa por A, ya podemos escribir las paramétricas de r:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=2+2\lambda\\y=1+3\lambda\\z=4\lambda\end{array}\right.

El punto M del plano π más cercano a A es la intersección de r con π. Para calcular dicha intersección sustituimos las paramétricas de r con la implícita de π y calculamos λ:

2(2+2\lambda)+3(1+3\lambda)+4(4\lambda)=36~;\\4+4\lambda+3+9\lambda+16\lambda=36~;\\7+29\lambda=36~;\\29\lambda=29~;\\\lambda=1

Sustituimos λ=1 en las paramétricas de r y así obtenemos M:

M=(4,4,4)


p727c) Tenemos el punto A y el punto medio M entre A y su simétrico respecto del plano π, A‘, obtenido en el apartado anterior.
Para calcular A‘ solo tenemos que utilizar la fórmula del punto medio:

M=\dfrac{A+A'}2

Despejamos A‘ y lo calculamos:

2M=A+A'~;\\A'=2M-A~;\\A'=2(4,4,4)-(2,1,0)=(8,8,8)-(2,1,0)~;\\A'=(6,7,8)

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