Problema 727

Dados el punto A(2,1,0) y el plano $\pi\equiv~2x+3y+4z=36$ , se pide:

a) Determinar la distancia del punto A al plano π.
b) Hallar las coordenadas del punto del plano π más próximo al punto A.
c) Hallar el punto simétrico de A respecto al plano π.

Solución:

a) Utilizamos la fórmula 2 que podemos ver aquí:

$d(A,\pi)=\dfrac{|2\cdot2+3\cdot1+4\cdot0-36|}{\sqrt{2^2+3^2+4^2}}=\dfrac{|-29|}{\sqrt{29}}=\sqrt{29}\text{ u.l.}$

b) Calculamos una recta r perpendicular a π que pase por A.
Por ser perpendicular a π, el vector director de r es proporcional al vector normal de π:

$\boxed{r\perp\pi\leftrightarrow\vec v_r\parallel\vec n_{\pi}}$

Luego, podemos escribir $\vec v_r=\vec n_{\pi}=(2,3,4)$ . Sabiendo que r pasa por A, ya podemos escribir las paramétricas de r:

$r:~\left\{\begin{array}{l}x=2+2\lambda\\y=1+3\lambda\\z=4\lambda\end{array}\right.$

El punto M del plano π más cercano a A es la intersección de r con π. Para calcular dicha intersección sustituimos las paramétricas de r con la implícita de π y calculamos λ:

$2(2+2\lambda)+3(1+3\lambda)+4(4\lambda)=36~;\\4+4\lambda+3+9\lambda+16\lambda=36~;\\7+29\lambda=36~;\\29\lambda=29~;\\\lambda=1$

Sustituimos λ=1 en las paramétricas de r y así obtenemos M:

$M=(4,4,4)$

p727 c) Tenemos el punto A y el punto medio M entre A y su simétrico respecto del plano π, A‘, obtenido en el apartado anterior.
Para calcular A‘ solo tenemos que utilizar la fórmula del punto medio: