Problema 728

Una compañía farmacéutica vende un medicamento que alivia la dermatitis atópica en un 80 % de los casos. Si un enfermo es tratado con un placebo, la probabilidad de mejoría espontánea es del 10 %. En un estudio experimental, la mitad de los pacientes han sido tratados con el medicamento y la otra mitad con un placebo.

a) Determinar cuál es la probabilidad de que un paciente elegido al azar haya mejorado.
b) Si un paciente elegido al azar ha mejorado, hallar la probabilidad de que haya sido tratado con el medicamento.


Solución:

Sea M el suceso «paciente toma el medicamento», sea P el suceso «paciente toma un placebo» y sea C el suceso «curarse o mejorar de la dermatitis».
En el enunciado nos dan las siguientes probabilidades:

\bullet~P[M]=0.5\\\bullet~P[P]=0.5\\\bullet~P[C/M]=0.8\\\bullet~P[C/P]=0.1

a) Nos piden calcular la probabilidad total de que el paciente se haya curado o mejorado, P[C]:

P[C]=P[M]\cdot P[C/M]+P[P]\cdot P[C/P]=0.5\cdot0.8+0.5\cdot0.1=0.45


b) Nos piden la probabilidad condicional de que el paciente haya tomado el medicamento sabiendo que se ha curado o mejorado, P[M/C]. Utilizamos el teorema de Bayes:

P[M/C]=\dfrac{P[M]\cdot P[C/M]}{P[C]}=\dfrac{0.5\cdot0.8}{0.45}=0.889

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