Problema 729

Dado el sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{rl}kx+(k+1)y+z&=0\\-x+ky-z&=0\\(k-1)x-y&=-(k+1)\end{array}\right.

se pide:

a) Discutir el sistema según los valores del parámetro real k.
b) Resolver el sistema para k=-1.


Solución:

a) Escribimos el sistema en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}k&k+1&1\\-1&k&-1\\k-1&-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&-k-1\end{pmatrix}

Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos por calcular el rango de M utilizando determinantes:

\begin{vmatrix}k&k+1&1\\-1&k&-1\\k-1&-1&0\end{vmatrix}=-(k+1)(k-1)+1-k(k-1)-k=\\\\=-k^2+1+1-k^2+k-k=-2k^2+2=-2(k^2-1)=-2(k+1)(k-1)

Determinante que se anula para k=-1 y k=1, por tanto:

  • Si k≠-1 y k≠1, entonces \text{rg}(M)=3=\text{rg}(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si k=-1, entonces M=\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&-1&-1\\-2&-1&0\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}-1&0\\-1&-1\end{vmatrix}\neq0. Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}-1&0&0\\-1&-1&0\\-2&-1&0\end{vmatrix}=0
    Luego, el rango de la matriz ampliada también es 2, y el sistema es compatible indeterminado.
  • Si k=1, entonces M=\begin{pmatrix}1&2&1\\-1&1&-1\\0&-1&0\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&2\\-1&1\end{vmatrix}\neq0. Calculamos el rango de la matriz ampliada utilizando determinantes:
    \begin{vmatrix}1&2&0\\-1&1&0\\0&-1&-2\end{vmatrix}=-2-4\neq0
    Luego, el rango de M* es 3 y el sistema es incompatible.

b) Para k=-1, dijimos en el apartado a) que el sistema es compatible indeterminado. El rango de M y M* es 2, luego el sistema de ecuaciones:

\left\{\begin{array}{rl}-x+z&=0\\-x-y-z&=0\\-2x-y&=0\end{array}\right.

es equivalente a:

\left\{\begin{array}{rl}-x+z&=0\\-x-y-z&=0\end{array}\right.

Para resolverlo parametrizamos z=\lambda y reescribimos el sistema:

\left\{\begin{array}{rl}-x&=-\lambda\\-x-y&=\lambda\end{array}\right.

de donde resulta x=\lambda e y=-2\lambda.
La solución del sistema es (x,y,z)=(\lambda,-2\lambda,\lambda).

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