Problema 730

a) Sean f y g dos funciones derivables de las que se conocen los siguientes datos:

f(1)=1,~f'(1)=2,~g(1)=3,~g'(1)=4

Dada h(x)=f((x+1)^2), use la regla de la cadena para calcular h'(0). Dada k(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}, calcule k'(1).

b) Calcule la integral \displaystyle\int(\text{sen}x)^4(\cos x)^3~dx. (Se puede usar el cambio de variables t=\text{sen}x.)


Solución:

Recordar la tabla de derivadas.

a) Definimos g(x)=(x+1)^2. Luego,

h(x)=f(g(x))

Aplicando la regla de la cadena, la derivada de h es:

h'(x)=\big(f(g(x))\big)'=f'(g(x))\cdot g'(x)

Para x=0 tenemos:

h'(0)=f'(g(0))\cdot g'(0)

Necesitamos la derivada de g:

g(x)=(x+1)^2\rightarrow g(0)=1\\\\g'(x)=2(x+1)\rightarrow g'(0)=2

Luego, recordando los datos del enunciado:

h'(0)=f'(g(0))\cdot g'(0)=f'(1)\cdot g'(0)=2\cdot2=\boxed{4}


Dada k(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}, nos piden k'(1).
Desarrollando la derivada del cociente:

k'(x)=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g(x)^2}

Luego

k'(1)=\dfrac{f'(1)\cdot g(1)-f(1)\cdot g'(1)}{g(1)^2}=\dfrac{2\cdot3-1\cdot4}{3^2}=\boxed{\dfrac29}


b) Utilizamos el cambio de variable sugerido t=\text{sen}(x), y a partir de ahí calculamos:

x=\text{arcsen}(t)\rightarrow dx=\dfrac1{\sqrt{1-t^2}}~dt

Dado que \cos^2(x)+\text{sen}^2(x)=1, entonces:

\cos(x)=\sqrt{1-\text{sen}^2(x)}=\sqrt{1-t^2}

Podemos ya calcular la integral (recordar la tabla de integrales inmediatas):

\displaystyle\int(\text{sen}x)^4(\cos x)^3~dx=\int t^4\cdot\sqrt{1-t^2}^3\cdot\dfrac1{\sqrt{1-t^2}}~dt=\int t^4\cdot\sqrt{1-t^2}^2~dt=\\\\=\int t^4(1-t^2)~dt=\int t^4-t^6~dt=\dfrac{t^5}5-\dfrac{t^7}7+k

Deshaciendo el cambio de variable:

\displaystyle\int(\text{sen}x)^4(\cos x)^3~dx=\boxed{\dfrac{\text{sen}^5(x)}5-\dfrac{\text{sen}^7(x)}7+k}

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