Problema 731

Dados los puntos A(1,1,1), B(1,3,-3) y C(-3,-1,1), se pide:

a) Determinar la ecuación del plano que contiene a los tres puntos.
b) Obtener un punto D (distinto de A, B y C) tal que los vectores \overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AC}\text{ y }\overrightarrow{AD} sean linealmente dependientes.
c) Encontrar un punto P del eje OX, de modo que el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y P sea igual a 1.


Solución:

a) Para construir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores. El plano π que nos piden lo construiremos con \{A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\}.

\overrightarrow{AB}=(1,3,-3)-(1,1,1)=(0,2,-4)\\\overrightarrow{AC}=(-3,-1,1)-(1,1,1)=(-4,-2,0)

Luego, el plano en forma vectorial es:

\pi:~(x,y,z)=(1,1,1)+\lambda(0,2,-4)+\mu(-4,-2,0)

Calculamos el plano en forma implícita:

\begin{vmatrix}x-1&y-1&z-1\\0&2&-4\\-4&-2&0\end{vmatrix}=16(y-1)+8(z-1)-8(x-1)=\\\\=8(2y-2+z-1-x+1)=8(-x+2y+z-2)

Luego

\pi:~-x+2y+z-2=0


b) Sea el punto D=(x,y,z), entonces tenemos el vector

\overrightarrow{AD}=(x,y,z)-(1,1,1)=(x-1,y-1,z-1)

El vector \overrightarrow{AD} es linealmente dependiente si el determinante \begin{vmatrix}\overrightarrow{AB}\\\overrightarrow{AC}\\\overrightarrow{AD}\end{vmatrix}=0.
Este determinante ya se calculó antes y su resultado es 8(-x+2y+z-2), y cuyo valor es 0 para cualquier punto del plano π, luego, D es cualquier punto del plano π distinto de los puntos A, B y C.
Como tenemos la ecuación vectorial de π,

\pi:~(x,y,z)=(1,1,1)+\lambda(0,2,-4)+\mu(-4,-2,0)

el punto D lo obtenemos dando valores a λ y a μ, por ejemplo, con λ=1 y μ=1 obtenemos

D=(-3,1-3)


c) Sea el punto P=(x,0,0) perteneciente al eje OX. El volumen del tetraedro formado por 4 puntos A, B, C y P es igual a:

\boxed{V=\dfrac{|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AP}]|}6}

\overrightarrow{AP}=(x,0,0)-(1,1,1)=(x-1,-1,-1)

[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AP}]=\begin{vmatrix}0&2&-4\\-4&-2&0\\x-1&-1&-1\end{vmatrix}=-16-8-8(x-1)=-24-8x+8=\\\\=-8x-16=-8(x+2)

El volumen ha de ser 1:

1=\dfrac{|-8(x+2)|}6~;\\\\6=|-8(x+2)|

Ecuación en valor absoluto cuyas soluciones son:

\bullet~-8(x+2)=6~;\\x+2=\frac{-3}4~;\\x=\frac{-11}4\\\\\bullet~8(x+2)=6~;\\x+2=\frac34~;\\x=\frac{-5}4

Luego, hay dos puntos P solución del problema, P_1=(\frac{-11}4,0,0)\text{ y }P_2=(\frac{-5}4,0,0).

 

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s